체의 확대

체론에서 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

정의

두 체 ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle L}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle K}$에서 ${\displaystyle L}$로 가는 확대는 ${\displaystyle K}$에서 ${\displaystyle L}$로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 ${\displaystyle K}$를 ${\displaystyle L}$의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 ${\displaystyle K}$를 ${\displaystyle L}$의 부분체(部分體, 영어: subfield), 반대로 ${\displaystyle L}$을 ${\displaystyle K}$의 확대체(擴大體, 영어: extension field)라고 한다. ${\displaystyle L}$이 ${\displaystyle K}$의 확대체라는 것은 기호로 ${\displaystyle L/K}$로 쓴다.

일련의 체 ${\displaystyle K_{0},K_{1},\dots ,K_{n}}$들이 서로 체의 확대

${\displaystyle K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}}$

를 이룰 때, ${\displaystyle \{K_{i}\}_{i=0,1,\dots ,n}}$를 체의 탑(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다.

차수

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle L}$은 ${\displaystyle K}$ 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$의 차수(次數, 영어: degree)는 ${\displaystyle L}$의 ${\displaystyle K}$-벡터 공간으로서의 차원이며, ${\displaystyle [L:K]}$로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

초월 차수

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 ${\displaystyle L}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset L}$이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 ${\displaystyle p\in K[|S|]}$에 대하여, ${\displaystyle p(S)=0}$인 다항식은 ${\displaystyle p=0}$밖에 없다면, ${\displaystyle S}$를 대수적 독립 집합(영어: algebraically independent set)이라고 한다. ${\displaystyle L/K}$의 초월 차수(영어: transcendence degree)는 ${\displaystyle L}$에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, ${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}L}$와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다.

${\displaystyle L/K}$의 초월 기저(超越基底, 영어: transcendence basis) ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle L/K(S)}$가 대수적인 대수적 독립 집합 ${\displaystyle S\subset L}$이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 ${\displaystyle L=K(S)}$라면, ${\displaystyle L/K}$를 순수 초월 확대(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다.

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 ${\displaystyle L}$의 원소 ${\displaystyle a\in L}$가 주어졌을 때, 만약 ${\displaystyle \{a\}}$가 대수적 독립 집합이라면, ${\displaystyle a}$를 ${\displaystyle L/K}$의 초월 원소(超越元素, 영어: transcendental element)라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 대수적 원소(代數的元素, 영어: algebraic element)라고 한다.

생성원으로 정의되는 확대

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 ${\displaystyle L}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset L}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle L}$속에서 ${\displaystyle S}$로 생성되는 ${\displaystyle K}$의 확대 ${\displaystyle K(S)}$는 ${\displaystyle S\cup K}$를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 ${\displaystyle L}$의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. ${\displaystyle K[S]\subseteq L}$가, ${\displaystyle S}$의 원소들에 대한 ${\displaystyle K}$ 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle K(S)}$는 ${\displaystyle K[S]}$의 분수체와 동형이다.

${\displaystyle K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L}$

또한, 만약 ${\displaystyle S}$가 유한 집합이며, ${\displaystyle L}$이 대수적 확대라면 ${\displaystyle K(S)/K}$는 유한 확대이다.

체의 확대 ${\displaystyle M/K}$ 속에서 두 부분체

${\displaystyle K\subseteq L_{1}\subseteq M}$

${\displaystyle K\subseteq L_{2}\subseteq M}$

가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 영어: compositum)는 ${\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})\subseteq M}$이다.

체 노름과 체 대각합

유한 확대 ${\displaystyle L/K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle L}$은 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이며, 임의의 원소 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여 ${\displaystyle a\cdot \colon L\to L}$은 ${\displaystyle K}$-벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 영어: field norm) ${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}}$과 체 대각합(體對角合, 영어: field trace) ${\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}}$이라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon L\to K}$

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon a\mapsto \det(a\cdot )}$

${\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K}$

${\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon a\mapsto \operatorname {tr} (\cdot a)}$

보다 일반적으로, ${\displaystyle a\cdot }$의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 ${\displaystyle K}$ 계수의 일계수 다항식이다.

${\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]}$

이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

${\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)}$

체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여, 그 최소 다항식이 ${\displaystyle p_{a}\in K[x]}$라고 하고, 그 근들의 중복집합이 ${\displaystyle \{\sigma _{1}(a),\dots ,\sigma _{n}(a)\}\in {\bar {K}}}$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}}$

${\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)}$

만약 ${\displaystyle L/K}$가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 ${\displaystyle L/K}$가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\prod _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)}$

${\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$는 갈루아 군이다.

성질

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 존재한다면, ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle L}$의 표수는 서로 일치한다.

${\displaystyle \exists L/K\implies \operatorname {char} K=\operatorname {char} L}$

차수와 초월 차수

확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 ${\displaystyle M/L}$이 주어졌을 때, 합성 확대 ${\displaystyle M/K}$의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

${\displaystyle [M:K]=[L:K][M:L]}$

${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}M=\operatorname {trdeg} _{K}L+\operatorname {trdeg} _{L}M}$

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이며, 확대체의 집합의 크기와 같다.

${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}L\geq 1\implies [L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\geq \aleph _{0}}$

이다.

증명:

자명하게

${\displaystyle \max\{\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\leq [L:K]\leq |L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}}$

이므로, ${\displaystyle [L:K]\geq |K|}$임을 보이면 충분하다. 초월 원소 ${\displaystyle x\in L}$를 고르자. 그렇다면,

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+ax}}\colon a\in K\right\}\subseteq L}$

는 ${\displaystyle K}$-선형 독립 집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n-1}\in K}$ 및 서로 다른 ${\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{n-1}\in K}$에 대하여,

${\displaystyle {\frac {c_{0}}{1+a_{0}x}}+\cdots {\frac {c_{n-1}}{1+a_{n-1}x}}=0}$

라고 가정하였을 때

${\displaystyle c_{0}=\dotsb =c_{n-1}=0}$

임을 보여야 한다.

${\displaystyle r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_{0},\dotsc ,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc ,a_{n-1})\qquad (i,j=0,\dotsc ,n-1)}$

라고 하자 (${\displaystyle e_{n-1,j}}$는 ${\displaystyle (n-1)}$변수 ${\displaystyle j}$차 기본 대칭 다항식). 그렇다면 가정은

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}(1+a_{0}x)\dotsm (1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\dotsm (1+a_{n-1}x)\\&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}r_{n-1,i,j}x^{j}\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}\end{aligned}}}$

와 동치이다 . ${\displaystyle x}$가 초월 원소이므로, 이는

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}=0\qquad (j=0,\dotsc ,n-1)}$

와 동치이다. 이는 ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n-1}}$에 대한 연립 일차 방정식이다. 따라서, 계수들의 행렬식이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\neq 0}$

이며, 이는 ${\displaystyle n}$에 대한 수학적 귀납법을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다. ${\displaystyle n=1}$의 경우는 자명하다. 이제 ${\displaystyle n-1}$에 대하여 참임을 가정하고, ${\displaystyle n}$의 경우를 생각하자. 가정에 따라 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}0&r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\1&r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}{\begin{vmatrix}(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}(a_{n-1}-a_{0})\dotsm (a_{n-1}-a_{n-2}){\begin{vmatrix}r_{n-2,0,0}&\cdots &r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-2,n-2,0}&\cdots &r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(a_{0}-a_{n-1})\dotsm (a_{n-2}-a_{n-1})\prod _{0\leq i<j\leq n-2}(a_{i}-a_{j})\\&=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle n}$에 대해서도 참이다.

대수적 확대 ${\displaystyle M/K}$의 두 중간체 ${\displaystyle K\subseteq L_{1},L_{2}\subseteq M}$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.^{[1]:529, Proposition 21}

${\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]\leq [L_{1}:K][L_{2}:K]}$

증명:

우선, ${\displaystyle L_{1}/K}$와 ${\displaystyle L_{2}/K}$가 모두 대수적 확대인 경우를 증명하자. ${\displaystyle L_{1}}$과 ${\displaystyle L_{2}}$의 ${\displaystyle K}$-기저 ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ 및 ${\displaystyle (b_{i})_{i\in I}}$에 대하여, ${\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}}$가 ${\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})}$를 ${\displaystyle K}$-선형 생성함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게

${\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})=K(\{a_{i}\}_{i\in I}\cup \{b_{j}\}_{j\in J})}$

이다. 또한, 이는 자명하게

${\displaystyle K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})}$

꼴의 체들의 합집합이다. 모든 ${\displaystyle a_{i_{r}}}$와 ${\displaystyle b_{j_{s}}}$가 대수적 원소이므로,

${\displaystyle {\begin{aligned}K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})&=K(a_{i_{1}})\cdots (a_{i_{m}})(b_{j_{1}})\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}}]\cdots [a_{i_{m}}][b_{j_{1}}]\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]\end{aligned}}}$

이다. 마지막으로, 유한 개의 ${\displaystyle a_{i_{r}}}$들의 곱은 ${\displaystyle L_{1}}$의 원소이므로 (유한 개의) ${\displaystyle a_{i}}$들의 ${\displaystyle K}$-선형 결합이다. 마찬가지로 유한 개의 ${\displaystyle b_{j_{s}}}$들의 곱은 (유한 개의) ${\displaystyle b_{j}}$들의 ${\displaystyle K}$-선형 결합이다. 따라서, ${\displaystyle K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]}$의 원소들은 (유한 개의) ${\displaystyle a_{i}b_{j}}$들의 ${\displaystyle K}$-선형 결합이다. 즉, ${\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}}$는 ${\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})}$의 ${\displaystyle K}$-선형 생성 집합이다.

이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우, ${\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})/K}$가 초월 확대이며 ${\displaystyle L_{1}}$와 ${\displaystyle L_{2}}$ 중 하나 이상이 무한 집합이므로

${\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]=|K(L_{1}\cup L_{2})|=\max\{|K|,|L_{1}\cup L_{2}|,\aleph _{0}\}=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}$

이다. 만약 ${\displaystyle L_{1}/K}$와 ${\displaystyle L_{2}/K}$가 둘 다 초월 확대라면,

${\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=|L_{1}||L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}$

이다. 만약 ${\displaystyle L_{1}/K}$가 대수적 확대이며 ${\displaystyle L_{2}/K}$가 초월 확대라면,

${\displaystyle [L_{1}:K]\leq |L_{1}|=\max\{|K|,\aleph _{0}\}\leq \max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L_{2},\aleph _{0}\}=|L_{2}|}$

이므로

${\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=[L_{1}:K]|L_{2}|=\max\{[L_{1}:K],|L_{2}|\}=|L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}$

이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다.

체 노름과 체 대각합

노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(ab)=\operatorname {N} _{L/K}(a)\operatorname {N} _{L/K}(b)}$

이며, 만약 ${\displaystyle a\neq 0}$이라면

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a^{-1})=\operatorname {N} _{L/K}(a)^{-1}}$

이다. 또한, 만약 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 ${\displaystyle M/L}$이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}}$

대수적 수체 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$에서, 모든 대수적 정수 ${\displaystyle a\in {\mathcal {O}}_{K}}$의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)\in \mathbb {Z} }$

또한, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|=|{\mathcal {O}}_{K}/(a)|}$

여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 임의의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|}$

로 정의한다.

분류

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 ${\displaystyle S\subset L\setminus K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle K(S)/K}$는 순수 초월 확대이며, ${\displaystyle L/K(S)}$는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

체 ${\displaystyle K}$의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 ${\displaystyle K(S)}$와 동형이며, 이는 ${\displaystyle S}$의 집합의 크기 ${\displaystyle |S|}$에 따라 완전히 분류된다.

체 ${\displaystyle K(S)}$의 대수적 확대의 분류는 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle |S|}$차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 ${\displaystyle K}$가 대수적으로 닫힌 체이며 ${\displaystyle |S|=1}$인 경우, 이는 ${\displaystyle K}$ 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.

종류

위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.

• 갈루아 확대
• 분해 가능 확대
• 정규 확대
• 아벨 확대
• 단순 확대

예

대수적 폐포

임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}}$ 및 분해 가능 폐포 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$를 정의할 수 있으며, 또한 ${\displaystyle K}$의 표수에 따라서 ${\displaystyle K_{0}}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle K_{0}={\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&p=\operatorname {char} K>0\\\mathbb {Q} &\operatorname {char} K=0\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$는 크기 ${\displaystyle p}$의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

${\displaystyle K_{0}\subseteq K\subseteq K^{\operatorname {sep} }\subseteq {\bar {K}}}$

${\displaystyle {\bar {K}}/K}$는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

유리 함수 · 형식적 로랑 급수

임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 유리 함수체 ${\displaystyle K(x)=\operatorname {Frac} K[x]}$ 및 형식적 로랑 급수체 ${\displaystyle K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]}$를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

${\displaystyle K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))}$

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

${\displaystyle [K(x):K]=\aleph _{0}}$

${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}K(x)=1}$

${\displaystyle [K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}}$

유리수 · 실수 · 복소수

유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$, 복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C} }$

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

${\displaystyle [\mathbb {R}$ :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}}

${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}}$

${\displaystyle [\mathbb {C}$ :\mathbb {R} ]=2}

${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =0}$

체의 확대 ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$에서의 체 노름은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}}$

이다.

유리수체의 확대

유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$나 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})/\mathbb {Q} }$ 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

원주율 ${\displaystyle \pi }$ 및 자연로그의 밑 ${\displaystyle e}$는 초월수이므로, ${\displaystyle \mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q} }$와 ${\displaystyle \mathbb {Q} (e)/\mathbb {Q} }$는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 ${\displaystyle \{\pi ,e\}}$가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi ,e)/\mathbb {Q} }$는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.

${\displaystyle [\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}}$

${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi )=\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (e)=1}$

${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi ,e)\in \{1,2\}}$

이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }$에서의 체 노름은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}}$

이다.

p진수체

 이 부분의 본문은 p진수입니다.

소수 ${\displaystyle p}$가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

${\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {Q} _{p}\subsetneq {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}\subsetneq \mathbb {C} _{p}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$는 p진수체이며, ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}$는 그 대수적 폐포이며, ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$는 그 완비화이다. ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$는 복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

${\displaystyle [\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}}$

유한체

 이 부분의 본문은 유한체입니다.

소수 ${\displaystyle p}$가 주어졌을 때, 표수 ${\displaystyle p}$의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\subsetneq \mathbb {F} _{p^{2}}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {F} _{p^{n}}\subsetneq \cdots {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim ^{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}}$

여기서 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.

${\displaystyle [\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p}$

${\displaystyle [{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}}$

대수다양체의 유리 함수체

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 대수다양체 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$ 위의 유리 함수체

${\displaystyle L=\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X})}$

는 ${\displaystyle K}$의 확대이다. 이 경우, ${\displaystyle X}$의 쌍유리 동치류는 확대 ${\displaystyle L/K}$로부터 완전히 결정된다. 특히, ${\displaystyle X}$의 크룰 차원은 ${\displaystyle L/K}$의 초월 차수와 같다.

${\displaystyle \dim X=\operatorname {trdeg} _{K}L}$

이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

${\displaystyle n}$차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 ${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})}$이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

${\displaystyle y^{2}=p(x)}$

여기서 ${\displaystyle p(x)\in K[x]}$는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 ${\displaystyle x}$ 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, ${\displaystyle x}$ 위의 올은 ${\displaystyle \pm {\sqrt {p(x)}}}$이다. ${\displaystyle 2\lceil (\deg p)/2\rceil }$개의 분기점들은 ${\displaystyle p}$의 근 및 (만약 ${\displaystyle 2\nmid \deg p}$인 경우) 무한대 ${\displaystyle {\widehat {\infty }}}$에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

${\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K}$

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 ${\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)}$에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbb {C} (\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}}\rho ')}$

이는 바이어슈트라스 타원 함수가 ${\displaystyle \wp '^{2}=4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}$를 만족시키기 때문이다.

같이 보기

• 갈루아 이론
• 유체론
• 분해체