추상대수학 에서 환 (環, 영어 : ring )은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조 의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군 을 이루고, 분배법칙 과 곱셈의 결합법칙 및 항등원 의 존재를 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 추상대수학 의 분야를 환론 (環論, 영어 : ring theory )이라고 한다.
가환환 (곱셈의 교환법칙 이 성립하는 환)은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 가환대수학 이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학 및 대수적 수론 과 깊은 관련이 있다. 1980년대 이후에는 비가환 기하학 과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다.
환에 대한 관련된 개념으로, 군의 표현 (혹은 가군 )이나 군환 , 나눗셈환 , 보편 포락 대수 등의 특수한 환 및 인접 분야인 호몰로지 대수학 등이 있다.
환론 을 창시한 수학자 중 한 명인 리하르트 데데킨트 환 은 아벨 군 과 모노이드 의 구조를 동시에 갖고, 두 구조가 서로 호환되는 대수 구조 이다. 구체적으로, 환
(
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
이항 연산
+
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle +\colon R\times R\to R}
⋅
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle \cdot \colon R\times R\to R}
을 갖추고, 다음 공리들을 만족시키는 집합 이다.[1] :83 [2] :136
(
R
,
+
)
{\displaystyle (R,+)}
아벨 군 을 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
(덧셈 결합 법칙 ) 임의의
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
(
r
+
s
)
+
t
=
r
+
(
s
+
t
)
{\displaystyle (r+s)+t=r+(s+t)}
(덧셈 교환 법칙 ) 임의의
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r,s\in R}
r
+
s
=
s
+
r
{\displaystyle r+s=s+r}
(덧셈 항등원 의 존재) 임의의
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
0
R
+
r
=
r
{\displaystyle 0_{R}+r=r}
0
R
∈
R
{\displaystyle 0_{R}\in R}
(덧셈 역원 의 존재) 임의의
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
+
(
−
r
)
=
0
R
{\displaystyle r+(-r)=0_{R}}
−
r
∈
R
{\displaystyle -r\in R}
(
R
,
⋅
)
{\displaystyle (R,\cdot )}
모노이드 를 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
(곱셈 결합 법칙 ) 임의의
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
(
r
s
)
t
=
r
(
s
t
)
{\displaystyle (rs)t=r(st)}
(곱셈 항등원 의 존재) 임의의
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
1
R
=
r
{\displaystyle r1_{R}=r}
1
R
∈
R
{\displaystyle 1_{R}\in R}
덧셈과 곱셈 사이에는 분배 법칙 이 성립한다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
(오른쪽 분배 법칙 ) 임의의
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
r
(
s
+
t
)
=
r
s
+
r
t
{\displaystyle r(s+t)=rs+rt}
(왼쪽 분배 법칙 ) 임의의
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
(
s
+
t
)
r
=
s
r
+
t
r
{\displaystyle (s+t)r=sr+tr}
환의 개념은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으나, 이들 정의들은 모두 서로 동치이다.
환의 개념은 다음과 같은 개념들과 유사하지만 다른 개념이다.
일반적인 환에서는 곱셈 교환 법칙 이 성립하지 않는다. 이 조건을 추가하면, 가환환 의 개념을 얻는다.
일반적인 환에서는 원소의 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않을 수 있다. 0이 아닌 모든 원소가 가역원 이라는 조건을 추가하면, 나눗셈환 의 개념을 얻는다.
일반적인 환에서는 항상 곱셈 항등원이 존재해야 한다. 이 조건을 생략하면, 유사환 이라는 개념을 얻는다. (일부 저자들은 모든 유사환을 "환"이라고 부르기도 한다.[3] :223 [4] :105 두 환
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
함수
f
:
R
→
S
{\displaystyle f\colon R\to S}
환 준동형 사상 (環準同型寫像, 영어 : ring homomorphism )이라고 한다.
f
{\displaystyle f}
군 준동형 이다. 즉, 임의의
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r,s\in R}
f
(
r
+
s
)
=
f
(
r
)
+
f
(
s
)
{\displaystyle f(r+s)=f(r)+f(s)}
f
{\displaystyle f}
모노이드 준동형 이다. 즉, 임의의
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r,s\in R}
f
(
r
s
)
=
f
(
r
)
f
(
s
)
{\displaystyle f(rs)=f(r)f(s)}
f
(
1
)
=
1
{\displaystyle f(1)=1}
유사환 의 준동형은
f
(
1
)
=
1
{\displaystyle f(1)=1}
유사환 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
환의 부분 집합
S
⊆
R
{\displaystyle S\subseteq R}
부분환 (部分環, 영어 : subring )이라고 한다.
S
{\displaystyle S}
부분군 을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
임의의
s
,
s
′
∈
S
{\displaystyle s,s'\in S}
s
+
s
′
∈
S
{\displaystyle s+s'\in S}
임의의
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
−
s
∈
S
{\displaystyle -s\in S}
S
{\displaystyle S}
모노이드 를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
1
R
∈
S
{\displaystyle 1_{R}\in S}
임의의
s
,
s
′
∈
S
{\displaystyle s,s'\in S}
s
s
′
∈
S
{\displaystyle ss'\in S}
즉, 부분환은 덧셈 부분군이자 곱셈 부분 모노이드인 부분 집합 이다.
아이디얼 은 전체 아이디얼이 아닐 경우 1을 포함하지 않으므로 부분환이 될 수 없다.
이 부분의 본문은
가군 입니다.
환의 특정 부분 집합을 아이디얼
R
{\displaystyle R}
아이디얼
a
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R}
몫환
R
/
a
{\displaystyle R/{\mathfrak {a}}}
군 과 그 정규 부분군 이 주어졌을 때, 몫군 을 취할 수 있는 것과 마찬가지다.
군 이나 모노이드 가 집합 위에 왼쪽·오른쪽에서 작용 할 수 있는 것처럼, 환의 경우 아벨 군 위에 왼쪽·오른쪽으로 작용할 수 있다. 이렇게 환의 (왼쪽·오른쪽) 작용을 갖춘 아벨 군을 왼쪽·오른쪽 가군 이라고 한다. 왼쪽·오른쪽 아이디얼은 왼쪽·오른쪽 가군의 특수한 경우이다. 대략, 군의 작용과 환의 작용에 대하여 다음과 같이 대응되는 개념들이 존재한다.
주어진 환들로부터 새로운 환을 만드는 다양한 연산들이 존재한다.
환
(
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
r
⋅
′
s
=
s
⋅
r
∀
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r\cdot 's=s\cdot r\qquad \forall r,s\in R}
그렇다면
(
R
,
+
,
⋅
′
)
{\displaystyle (R,+,\cdot ')}
R
{\displaystyle R}
반대환 (反對環, 영어 : opposite ring )
R
op
{\displaystyle R^{\operatorname {op} }}
R
op
{\displaystyle R^{\operatorname {op} }}
아벨 군 으로서
R
{\displaystyle R}
모노이드 로서
R
{\displaystyle R}
반대 모노이드 이다.
환을 하나의 대상을 갖는, 아벨 군 의 모노이드 범주 위의 풍성한 범주 로 생각하였을 때, 이는 반대 범주 의 특수한 경우이다.
이 부분의 본문은
자유곱 입니다.
환의 모임은 대수 구조 다양체 이므로, 환들의 집합의 자유곱 쌍대곱 을 이룬다. 일반적으로, 환들의 자유곱은 매우 복잡하다.
환
R
{\displaystyle R}
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
0
,
1
∈
R
{\displaystyle 0,1\in R}
0
r
=
r
0
=
0
{\displaystyle 0r=r0=0}
증명: 이는
0
r
=
0
r
+
0
(
r
−
r
)
=
(
0
+
0
)
r
−
0
r
=
0
r
−
0
r
=
0
{\displaystyle 0r=0r+0(r-r)=(0+0)r-0r=0r-0r=0}
r
0
=
r
0
+
(
r
−
r
)
0
=
r
(
0
+
0
)
−
r
0
=
r
0
−
r
0
=
0
{\displaystyle r0=r0+(r-r)0=r(0+0)-r0=r0-r0=0}
(
−
1
)
r
=
r
(
−
1
)
=
−
r
{\displaystyle (-1)r=r(-1)=-r}
증명:
r
+
(
−
1
)
r
=
1
r
+
(
−
1
)
r
=
(
1
−
1
)
r
=
0
{\displaystyle r+(-1)r=1r+(-1)r=(1-1)r=0}
(
−
1
)
r
=
−
r
{\displaystyle (-1)r=-r}
r
(
−
1
)
=
−
r
{\displaystyle r(-1)=-r}
(
−
r
)
s
=
r
(
−
s
)
=
−
(
r
s
)
=
(
−
1
)
r
s
{\displaystyle (-r)s=r(-s)=-(rs)=(-1)rs}
만약
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
가역원 이라면,
r
s
{\displaystyle rs}
(
r
s
)
−
1
=
s
−
1
r
−
1
{\displaystyle (rs)^{-1}=s^{-1}r^{-1}}
가역원군 이라는 군 을 이룬다.
증명: 결합 법칙에 따라서
(
r
s
)
(
s
−
1
r
−
1
)
=
r
(
s
s
−
1
)
r
−
1
=
r
r
−
1
=
1
{\displaystyle (rs)(s^{-1}r^{-1})=r(ss^{-1})r^{-1}=rr^{-1}=1}
(
s
−
1
r
−
1
)
(
r
s
)
=
1
{\displaystyle (s^{-1}r^{-1})(rs)=1}
환 가운데,
0
=
1
{\displaystyle 0=1}
자명환 밖에 없다. 이는 임의의 원소
r
{\displaystyle r}
r
=
1
r
=
0
r
=
0
{\displaystyle r=1r=0r=0}
환의 경우, 다른 대수 구조 와 마찬가지로 준동형 정리 와 동형 정리 가 성립한다.
환과 환 준동형 의 범주
Ring
{\displaystyle \operatorname {Ring} }
대수 구조 다양체 의 범주이므로, 완비 범주 이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 극한 과 쌍대극한은 다음과 같다.
특히, 환의 전사 사상 은 전사 함수 일 필요가 없다. 하지만 반대로 전사 함수인 환 준동형은 항상 환의 전사 사상이다.
환의 범주
Ring
{\displaystyle \operatorname {Ring} }
아벨 군 의 범주 · 모노이드 의 범주 · 집합 의 범주로 가는 충실한 망각 함자 를 갖는다. 이들은 각각 곱셈과 덧셈을 잊는다.
A
:
Ring
→
Ab
{\displaystyle A\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Ab} }
M
:
Ring
→
Mon
{\displaystyle M\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Mon} }
이 두 함자는 모두 왼쪽 수반 함자 를 갖는다.
A
{\displaystyle A}
아벨 군
G
{\displaystyle G}
정수환 위의 가군 으로 생각하여) 그 텐서 대수
T
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {T} (G)}
M
{\displaystyle M}
모노이드
M
{\displaystyle M}
모노이드 환
Z
[
M
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [M]}
이들은 다른 함자와 다음과 같이 합성할 수 있다.
군에서 모노이드로 가는 망각 함자
F
:
Grp
→
Mon
{\displaystyle F\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Mon} }
수반 함자 를 가지며, 이 가운데 왼쪽 수반 함자는 모노이드를 그 가역원군 으로 대응시킨다. 이를 환에서 모노이드로 가는 망각 함자와 합성하면, 가역원군 함자
Unit
:
Ring
→
Grp
{\displaystyle \operatorname {Unit} \colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Grp} }
G
{\displaystyle G}
군환
Z
[
G
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [G]}
아벨 군 의 범주와 모노이드 의 범주 둘 다 구체적 범주 이므로, 집합의 범주로 가는 망각 함자를 얻는다. 이를 합성하면, 환의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자
Ring
→
Set
{\displaystyle \operatorname {Ring} \to \operatorname {Set} }
구체적 범주 를 이룬다. 이 망각 함자의 왼쪽 수반 함자는 집합
S
{\displaystyle S}
비가환 다항식환
Z
⟨
S
⟩
{\displaystyle \mathbb {Z} \langle S\rangle }
S
{\displaystyle S}
자유 아벨 군 의 텐서 대수
T
(
Z
⊕
|
S
|
)
{\displaystyle \operatorname {T} (\mathbb {Z} ^{\oplus |S|})}
S
{\displaystyle S}
자유 모노이드 의 정수 계수 모노이드 환 과도 같다.이 밖에도, 환의 범주에서 유사환 의 범주로 가는 포함 함자
Ring
→
Rng
{\displaystyle \operatorname {Ring} \to \operatorname {Rng} }
가 존재한다. 이는 충실한 함자 이지만 충만한 함자 가 아니다. (즉, 유사환의 준동형 가운데 환 준동형이 아닌 것이 존재한다.) 이 포함 함자는 왼쪽 수반 함자
^
:
Rng
→
Ring
{\displaystyle {\hat {}}\colon \operatorname {Rng} \to \operatorname {Ring} }
R
^
:
R
↦
R
⊕
Z
{\displaystyle {\hat {R}}\colon R\mapsto R\oplus \mathbb {Z} }
를 가지며, 이를 유사환의 단위화 라고 한다.
환
R
{\displaystyle R}
아벨 군 을 얻는다. 반대로, 모든 유한 생성 아벨 군 위에는 하나 이상의 환 구조가 존재한다. 구체적으로, 임의의 유한 생성 아벨 군은 유한 개의 소수 거듭제곱 크기의 순환군 및 유한 개의 무한 순환군 들의 직합 이다.
Cyc
(
∞
)
⊕
n
0
⨁
i
Cyc
(
p
i
n
i
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )^{\oplus n_{0}}\bigoplus _{i}\operatorname {Cyc} (p_{i}^{n_{i}})}
이 아벨 군은 다음 환의 덧셈군이다.
Z
⊕
n
0
⨁
i
Z
/
(
p
i
n
i
)
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus n_{0}}\bigoplus _{i}\mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})}
환
R
{\displaystyle R}
환의 표수 는 덧셈군만으로 정의가 가능하며, 또한 환의 일부 아이디얼 들의 존재 역시 유추할 수 있다.
유한환 의 분류에 따라, 순환군
Cyc
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
Cyc
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}
n
{\displaystyle n}
Cyc
(
n
)
=
⟨
a
|
n
a
=
0
⟩
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\langle a|na=0\rangle }
k
∣
n
{\displaystyle k\mid n}
a
2
=
k
a
{\displaystyle a^{2}=ka}
[6] :Theorem 1 [7] :283
무한 순환군
Cyc
(
∞
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
(
n
)
⊆
Z
{\displaystyle (n)\subseteq \mathbb {Z} }
[7] :283, Exercise 68.5
꼬임 아벨 군
G
{\displaystyle G}
[7] :290, Proposition 120.8
원소들의 차수가 유계이다. 즉,
sup
g
∈
G
min
{
n
∈
Z
+
:
n
g
=
0
}
<
∞
{\displaystyle \textstyle \sup _{g\in G}\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon ng=0\}<\infty }
G
{\displaystyle G}
예를 들어, 덧셈군
Q
/
Z
{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }
프뤼퍼 군 위에는 환 구조가 존재하지 않는다. 물론, 임의의 아벨 군에 대하여 이를 덧셈군으로 하는 유사환 은 항상 존재한다. (아벨 군에 모든 곱이 0인 곱셈을 주면 된다.)
임의의 환
R
{\displaystyle R}
가역원군
Unit
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {Unit} (R)}
군 을 이룬다. 반대로, 군
G
{\displaystyle G}
군환
Z
[
G
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [G]}
G
{\displaystyle G}
G
⊆
Unit
(
Z
[
G
]
)
{\displaystyle G\subseteq \operatorname {Unit} (\mathbb {Z} [G])}
소수 크기의 유한 순환군
Cyc
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (p)}
동치 이다.[7] :323, Exercise 129.4
p
=
2
{\displaystyle p=2}
p
=
2
n
−
1
{\displaystyle p=2^{n}-1}
가역원군 이
Cyc
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (p)}
환은 다음과 같은 연산들을 갖춘 대수 구조 이다.
두 개의 이항 연산 (
+
{\displaystyle +}
⋅
)
{\displaystyle \cdot )}
한 개의 1항 연산 (
−
{\displaystyle -}
두 개의 0항 연산 (
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
환들의 모임은 대수 구조 다양체 를 이룬다. (반면, 예를 들어 체 의 모임은 역수 조건이 대수적이지 않으므로 대수 구조 다양체를 이루지 않는다.) 마찬가지로, 다음 모임들은 대수 구조 다양체를 이룬다.
소수
p
{\displaystyle p}
표수 가
p
{\displaystyle p}
자명환 인 환들의 모임
양의 정수
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
가환환 들의 모임폰 노이만 정칙환 들의 모임환의 대수 구조 다양체에서, (보편 대수학적) 준동형 은 통상적인 환 준동형과 같으며, 부분 대수는 통상적인 부분환 과 같으며, 단순 대수는 통상적인 단순환 과 같다.
환의 대수 구조 다양체에서, 합동 관계 는 양쪽 아이디얼 과 같다. 구체적으로, 환
R
{\displaystyle R}
합동 관계 들의 집합과 양쪽 아이디얼 들의 집합 사이에는 일대일 대응 이 존재하며, 합동 관계
∼
{\displaystyle \sim }
{
r
:
r
∼
0
}
{\displaystyle \{r\colon r\sim 0\}}
[8] :39–40
환의 대수 구조 다양체에서, 환
R
{\displaystyle R}
환의 중심 이 아니라, 다음과 같은 양쪽 아이디얼 이다.[8] :93
{
r
∈
R
:
r
R
=
R
r
=
{
0
}
}
{\displaystyle \{r\in R\colon rR=Rr=\{0\}\}}
이는 환의 스스로의 왼쪽 가군으로서의 소멸자 와 스스로의 오른쪽 가군으로서의 소멸자 의 교집합 과 같다.
환
R
{\displaystyle R}
부분 순서 집합
(
Ideal
(
R
)
,
⊆
)
{\displaystyle (\operatorname {Ideal} (R),\subseteq )}
완비 모듈러 격자 를 이룬다.[8] :16, Exercise 3.6
∧
{\displaystyle \wedge }
교집합 이며, 이음
∨
{\displaystyle \vee }
a
∧
b
=
a
∩
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\wedge {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}}
a
∨
b
=
a
+
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\vee {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}
아이디얼의 격자가 분배 격자 인 환은 산술환 영어 : arithmetical ring )이라고 한다.
마찬가지로,
R
{\displaystyle R}
가군 의 부분 가군 격자가 완비 모듈러 격자라는 정리의 특수한 경우이다.)
또한,
R
{\displaystyle R}
영어 : modular join-semilattice )를 이룬다.[9] :189, Exercise 5.44
환
R
{\displaystyle R}
부분환 들의 부분 순서 집합
(
Sub
(
R
)
,
⊆
)
{\displaystyle (\operatorname {Sub} (R),\subseteq )}
완비 격자 를 이루며, 추가로 대수적 격자 를 이룬다.
다양한 종류의 특별한 환들은 특별한 이름을 갖는다. 이들 가운데 대표적인 것들 및 이들 사이의 함의 관계는 다음과 같다.[10] :153
위 개념들과 독립적으로, 뇌터 환 아르틴 환
환의 연구는 다항식환 및 수체 의 대수적 정수 의 이론으로부터 출발했다. 환의 개념은 리하르트 데데킨트 가 도입했으며, 1897년에 다비트 힐베르트 가 수체 의 대수적 정수환 을 다루는 동안 처음으로 "수환"(독일어 : Zahlring 찰링[ * ] = 독일어 : Zahl 찰[ * ] (數) + 독일어 : Ring 링[ * ] (環))이라는 용어를 사용하였다.[11]
아브라함 프렝켈 은 1914년에[12] 에미 뇌터 는 1921년의 논문[13] 가환환 의 이론을 공리적으로 전개하였다.
...
![{\displaystyle [r]_{\sim }=r+{\mathfrak {a}}=\{r+a\colon a\in {\mathfrak {a}}\}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8381005a5d1a9340fd953df95658b1f7abbe77)
![{\displaystyle R[X]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeccd52deabb878398a8485755c3ceea80caf9a)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [M]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3433c2f2c54322f8baa8e4f6a9296db54640ebd7)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [G]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40260c366fc309a5872899d2ea34cf094855857)
![{\displaystyle G\subseteq \operatorname {Unit} (\mathbb {Z} [G])}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5dd993da91a78ebc1fa35de6c6707af58f7e9e)
![{\displaystyle R[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743c44f6be0e2eacaab2031ae622cd3aeaee2ead)
