시작 대상과 끝 대상

범주론에서 시작 대상(始作對象, 영어: initial object)과 끝 대상(-對象, 영어: terminal object)은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자.

• 만약 모든 ${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 ${\displaystyle \hom(X,Y)}$가 하나의 원소만을 갖는다면, ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 시작 대상이라고 한다.
• 만약 모든 ${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 ${\displaystyle \hom(Y,X)}$가 하나의 원소만을 갖는다면, ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 끝 대상이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 시작 대상이자 끝 대상일 경우, ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 영 대상(零對象, 영어: zero object)이라고 한다.

성질

모든 대수 구조 다양체의 범주는 (완비 범주이자 쌍대 완비 범주이므로) 시작 대상과 끝 대상을 갖는다. 시작 대상은 한원소 집합 위의 대수 구조이며, 끝 대상은 한원소 집합으로 생성되는 자유 대수이다. 시작 대상과 끝 대상은 같을 수도, 다를 수도 있다.

모든 아벨 범주는 정의에 따라 영 대상을 갖는다.

예

범주	시작 대상	끝 대상
집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$	공집합 ${\displaystyle \varnothing }$	한원소 집합 ${\displaystyle \{\bullet \}}$
위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$	공공간 ${\displaystyle \varnothing }$	한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$
위상 공간의 호모토피 범주 ${\displaystyle \operatorname {hTop} }$	공공간 ${\displaystyle \varnothing }$	한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$
작은 범주의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$	공범주 ${\displaystyle 0}$	하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주 ${\displaystyle \mathbf {1} }$
모노이드의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mon} }$	자명 모노이드
군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$	자명군 1
아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$	자명군 0
(단위원을 갖는) 환의 범주	정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$	자명환 0
(단위원을 갖는) 가환환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$	정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$	자명환 0
유사환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Rng} }$	자명환 0
아핀 스킴의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Aff} \simeq \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}$	자명환의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} 0=\varnothing }$	정수환의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$
스킴의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sch} }$	자명환의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} 0=\varnothing }$	정수환의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$
체의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Field} }$	(없음)
범주로 간주한 부분 순서 집합 (${\displaystyle \hom(a,b)\neq \varnothing \iff a\leq b}$)	(만약 존재한다면) 최소 원소	(만약 존재한다면) 최대 원소
범주로 간주한, 자명하지 않은 모노이드	(없음)
하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주 ${\displaystyle 1=\{\bullet \}}$	유일한 대상 ${\displaystyle \bullet }$

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Final object”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Initial object”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Terminal object”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.