완비 범주

범주론에서 완비 범주(完備範疇, 영어: complete category)는 집합 크기의 모든 극한들을 갖는 범주이다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다.

• (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ 및 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle F}$는 극한 ${\displaystyle \varprojlim F}$를 갖는다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$에 대하여, 동등자 ${\displaystyle \operatorname {Eq} \{f,g\}}$가 존재한다.
  • (작은 곱의 존재) 임의의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상들의 집합 ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}}$에 대하여, 곱 ${\displaystyle \prod S}$가 존재한다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주(雙對完備範疇, 영어: cocomplete category)라고 한다.

• (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ 및 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle F}$는 쌍대극한 ${\displaystyle \varinjlim F}$를 갖는다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$에 대하여, 쌍대동등자 ${\displaystyle \operatorname {Coeq} \{f,g\}}$가 존재한다.
  • (작은 쌍대곱의 존재) 임의의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상들의 집합 ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}}$에 대하여, 쌍대곱 ${\displaystyle \coprod S}$가 존재한다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다.

• (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ 및 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle F}$는 극한 ${\displaystyle \varprojlim F}$를 갖는다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$에 대하여, 동등자 ${\displaystyle \operatorname {Eq} \{f,g\}}$가 존재한다.
  • (유한 곱의 존재) 임의의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상들의 유한 집합 ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}}$에 대하여, 곱 ${\displaystyle \prod S}$가 존재한다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • (당김의 존재) 임의의 ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y}$에 대하여, 당김 ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$가 존재한다.
  • (끝 대상의 존재) 끝 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$가 존재한다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$에 대하여, 동등자 ${\displaystyle \operatorname {Eq} \{f,g\}}$가 존재한다.
  • (이항 곱의 존재) 임의의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 두 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 곱 ${\displaystyle X\times Y}$가 존재한다.
  • (끝 대상의 존재) 끝 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$가 존재한다.

성질

작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 완비 범주이다.
• 쌍대 완비 범주이다.

또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.^{[1]:78, Exercise D}

모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이다.

예

대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

• 집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$
• 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$
• 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$
• 환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$
• 가환환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$
• 환 ${\displaystyle R}$에 대하여, ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군들의 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$

작은 범주들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$ 역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

부분 순서 집합 ${\displaystyle P}$를 얇은 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

• ${\displaystyle P}$는 완비 범주이다.
• ${\displaystyle G}$는 완비 격자이다.

군 ${\displaystyle G}$를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

• ${\displaystyle G}$는 완비 범주이다.
• ${\displaystyle G}$는 자명군이다.

완비 범주가 아닌 범주

체의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 곱이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.

모든 순서수들의 얇은 범주는 쌍대 완비 범주이지만, 끝 대상이 없으므로 완비 범주가 아니다.