범주론에서 당김(영어: pullback 풀백[*])은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올곱(미국 영어: fibered product, 영국 영어: fibred product)이라고 불린다.
어떤 범주에서 대상
및 사상
![{\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7af79b4491eb5a26bce5f430abd6d7c258d343)
이 주어졌을 때,
와
의 당김
는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상
및 사상
으로 구성된다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}P&{\overset {p_{1}}{\to }}&X\\{\scriptstyle p_{2}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\Y&{\underset {g}{\to }}&Z\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c47c673fbd2eef4951ae3d862c4adb83671727)
위와 같은 가환 그림을 당김 사각형(영어: pullback square)이라고 한다. 이 그림에서,
를
에 대한 당김 또는 밑 변환(-變換, 영어: base change)이라고 한다.
이는 범주론적 극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상
및 사상
,
에 대하여, 만약
라면 다음 그림을 가환하게 만드는 사상
가 유일하게 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&P'\\^{p'_{1}}&\swarrow &\downarrow \scriptstyle \exists !u&\searrow &^{p'_{2}}\\X&\leftarrow &P&\rightarrow &Y\\_{f}&\searrow &&\swarrow &_{g}\\&&Z\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dc483ee934758fd2025329f84ba2befd04f9f9)
만약
이며
일 경우,
의 당김은 핵쌍(核雙, 영어: kernel pair)이라고 한다.
밑 변환
범주
의 사상에 대한 어떤 성질
가 주어졌다고 하자. (즉,
의 사상들의 모임
가 주어졌다고 하자.)
만약 모든
사상
및 임의의 사상
에 대하여 밑 변환
역시
사상이라면,
를 밑 변환에 대하여 안정적인 성질(영어: property invariant under base change)이라고 한다.
밑 변환에 대하여 불안정한 성질
에 대하여, 보편
사상(영어: universally
morphism)은 다음 조건을 만족시키는 사상
이다.
- 임의의 사상
에 대하여, 밑 변환
은
사상이다.
범주
가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 밑 변환에 의하여, 임의의 사상
에 대하여 조각 범주 사이의 함자
![{\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {C}}/B\to {\mathcal {C}}/B'}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ac898596bb29f5546f54434f64090764a239bb)
가 존재하며, 이는 조각 범주의 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle f^{*}\colon (X\to B)\mapsto (X\times _{B}B'\to B')}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94688d193bceccc60fdb5b3ae05bcc76d6757955)
![{\displaystyle f^{*}\colon {\begin{pmatrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \\Y&\to &B\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}X\times _{B}B'\\{\scriptstyle f^{*}g}\downarrow &\searrow \\Y\times _{B}B'&\to &B\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc72667f60fd113fb189d6e08664125d85de9c0)
여기서 사상
는 다음과 같이, 당김 보조정리에 의하여 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X\times _{B}B'&\cong &X\times _{Y}(Y\times _{B}B')&\to &Y\times _{B}B'&\to &B'\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&X&\to &Y&\to &B\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dd50ab5ffb931a786d432cb6df65ac2e300047)
즉, 왼쪽·오른쪽 사각형이 둘 다 당김 사각형이므로 전체 사각형 역시 당김 사각형이며,
이 된다.
만약
가 토포스라면, 그 위의 조각 범주
,
역시 토포스이며, 밑 변환 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다.
![{\displaystyle f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ac97d38a05a81614434c98ef731421ba1af0ed)
또한,
는 토포스 사이의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.
곱과의 관계
(유한) 곱과 동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 곱
![{\displaystyle X{\xleftarrow {\pi _{X}}}X\times Y{\xrightarrow {\pi _{Y}}}Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4aa85104c2c94e2fa869456fd09cb7479178218)
이 주어졌을 때,
![{\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7af79b4491eb5a26bce5f430abd6d7c258d343)
의 당김은
![{\displaystyle X\times Y{\xrightarrow[{g\circ \pi _{Y}}]{f\circ \pi _{X}}}Z}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434f95b44be0055be3d64c06fbdf3d1929e92df8)
의 동등자이다. 반대로, 당김과 곱이 존재하는 범주에서는 동등자가 존재한다.
만약
이 끝 대상일 경우,
이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.
당김 사각형의 붙임
다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet &\to &\bullet \\\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e991c6e6f7caecdaed2457cda503fe09791de551)
이 그림에서, 왼쪽 사각형 · 오른쪽 사각형 · 전체 사각형이 각각 당김 사각형을 이루는지 여부를 고려할 수 있다. 그렇다면, 당김 보조정리(영어: pullback lemma)에 따르면 다음이 성립한다.
- 오른쪽 사각형이 당김 사각형이라고 가정했을 때, 왼쪽 사각형이 당김 사각형인 것은 전체 사각형이 당김 사각형인 것과 동치이다.
그러나 이러한 정리는 왼쪽 사각형에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있고, 반대로 당김 사각형을 반으로 갈랐을 때 오른쪽이 당김 사각형이라면 왼쪽도 마찬가지다. (그러나 왼쪽이 당김 사각형일 경우 오른쪽은 아닐 수 있다.)
즉, 다음과 같은 경우가 가능하다. (표에서 "예"는 당김 사각형인 경우, "아니오"는 당김 사각형이 아닌 경우이다.)
자세한 정보 오른쪽, 왼쪽 ...
오른쪽 | 왼쪽 | 전체 | 가능? |
예 | 예 | 예 | 가능 |
예 | 예 | 아니오 | 불가능 |
예 | 아니오 | 예 | 불가능 |
예 | 아니오 | 아니오 | 가능 |
아니오 | 예 | 예 | 가능 |
아니오 | 예 | 아니오 | 가능 |
아니오 | 아니오 | 예 | 가능 |
아니오 | 아니오 | 아니오 | 가능 |
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대수적 범주
대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우, 당김이 항상 존재하며, 보통 올곱으로 불린다. 다음과 같은 대수 구조 및 준동형
![{\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7af79b4491eb5a26bce5f430abd6d7c258d343)
의 당김은 다음과 같다.
![{\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\in Z\}=\bigsqcup _{z\in Z}f^{-1}(z)\times g^{-1}(z)\subset X\times Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6af926edf99ed0863b7166e6fc33e27b748a16d)
이 경우 사상
,
는 자연스러운 사영 함수
,
이다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주
는 아무런 연산을 갖지 않는 대수 구조이므로 당김이 존재한다. 마찬가지로, 군의 범주
, 아벨 군의 범주
, 유사환의 범주
, 환의 범주
, 가환환의 범주
등에서도 모두 당김이 존재한다.
스킴
스킴의 범주
는 유한 완비 범주이며, 특히 모든 당김을 갖는다. 스킴의 당김은 (망각 함자
아래) 일반적으로 위상 공간의 당김과 다르다.
스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 안정적인 것은 다음이 있다.
스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 불안정한 것은 다음이 있다.