닫힌 몰입

스킴 이론에서 닫힌 몰입(-沒入, 영어: closed immersion)은 스킴 사상 가운데, 정의역을 공역의 닫힌집합으로 대응시키며, 정의역의 정칙 함수가 국소적으로 공역에 확장될 수 있게 하는 것이다. 대수학적으로, 이는 국소적으로 아이디얼에 대한 몫환을 취하는 꼴의 스킴 사상에 해당한다.

정의

스킴 ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle X}$ 사이의 사상 ${\displaystyle f\colon Y\to X}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 닫힌 몰입이라고 한다.

• ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle f(Y)}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이의 위상 동형이며, ${\displaystyle f(Y)}$는 닫힌집합이며, ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$는 전사 사상이다.^[1]:85 (이는 모든 점 ${\displaystyle x\in X}$에서 줄기 사상 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\to {\mathcal {O}}_{Y,x}}$가 전사 함수인 것과 동치이다.)
• ${\displaystyle X}$ 속의 임의의 아핀 열린집합 ${\displaystyle \operatorname {Spec} A\hookrightarrow X}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {Spec} A)=\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}})}$가 되는 어떤 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq A}$가 존재한다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 어떤 한 아핀 열린 덮개 ${\displaystyle X=\textstyle \bigcup _{i\in I}\operatorname {Spec} A_{i}}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {Spec} A_{i})=\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}}_{i})}$가 되는 어떤 아이디얼들 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}_{i}\subseteq A_{i}}$가 존재한다.
• 어떤 준연접 아이디얼 층 ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$에 대하여, ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {I}}}$이며, 이는 스킴의 동형 사상 ${\displaystyle Z\cong \operatorname {\underline {Proj}} ({\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})}$을 정의한다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} }$는 상대 사영 스펙트럼이다.)

스킴 ${\displaystyle X}$의 닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은 ${\displaystyle X}$ 위의 스킴의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sch} /X}$에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.^[1]:85 즉, 두 닫힌 몰입 ${\displaystyle f\colon Y\to X}$, ${\displaystyle f'\colon Y'\to X}$에서, ${\displaystyle f'=i\circ f}$인 동형 ${\displaystyle i\colon Y\to Y'}$이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.

성질

함의 관계

모든 닫힌 몰입은 유한 사상이며, 분리 사상이며, 준콤팩트 함수이다 (즉, 연속 함수로서, 콤팩트 열린집합의 원상이 콤팩트 열린집합이다).

연산에 대한 닫힘

임의의 세 스킴 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ 및 스킴 사상

${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z}$

가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle g\circ f}$가 닫힌 몰입이며, ${\displaystyle g}$가 분리 사상이라면, ${\displaystyle f}$ 역시 닫힌 몰입이다.

두 닫힌 몰입의 합성은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.

스킴 상

스킴 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$의 스킴 상(영어: scheme-theoretic image)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 스킴 ${\displaystyle Z}$
• 닫힌 몰입 ${\displaystyle i\colon Z\to Y}$. 또한, 어떤 스킴 사상 ${\displaystyle g\colon X\to Z}$에 대하여 ${\displaystyle f=i\circ g}$라고 하자.

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 임의의 스킴 ${\displaystyle Z'}$ 및 닫힌 몰입 ${\displaystyle i'\colon Z'\to Y}$ 및 스킴 사상 ${\displaystyle g'\colon X\to Z'}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f=i'\circ g'}$라면, ${\displaystyle i=i'\circ h}$인 스킴 사상 ${\displaystyle h\colon Z\to Z'}$이 존재한다.

모든 스킴 사상은 스킴 상을 갖는다. (정의에 따라 이는 동형 사상 아래 유일하다.)

특히, 열린 부분 스킴의 스킴 폐포(영어: scheme-theoretic closure)는 그 포함 사상의 스킴 상이다.

예

임의의 가환환 ${\displaystyle R}$ 및 그 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R}$에 대하여, 몫환 준동형 ${\displaystyle q\colon R\twoheadrightarrow R/{\mathfrak {i}}}$에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상 ${\displaystyle \operatorname {Spec} q\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {i}})\to \operatorname {Spec} R}$는 닫힌 몰입이다.

같이 보기

• 세그레 매장

각주

1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

외부 링크

• “Closed subscheme”. 《nLab》 (영어).
• “Closed immersion of schemes”. 《nLab》 (영어).