영역 (환론)

환론에서 영역(領域, 영어: domain)은 0 밖의 영인자가 없는, 자명환이 아닌 환이다. 정역의 개념의 비가환환에 대한 일반화이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 영역이라고 한다.

• ${\displaystyle R}$는 자명환이 아니며, 임의의 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle rs=0}$이라면 ${\displaystyle r=0}$이거나 ${\displaystyle s=0}$이다.
• 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
• 왼쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).
• 오른쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).

성질

다음 함의 관계가 성립한다.^[1]:153

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
단순환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
左·右 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

체		정역
⇕		⇕
단순환	⇒	영역	⇒	축소환
⇕		⇕		⇕
左·右 원시환		소환		반소환

즉, 가환 영역은 정역이다.

웨더번 정리에 따라서, 유한환인 영역은 유한체밖에 없다.

예

모든 나눗셈환(유한체, 유리수체, 실수체, 복소수체, 사원수환)은 영역이다.

후르비츠 사원수(영어: Hurwitz quaternion)의 환

${\displaystyle \{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \colon a\in \mathbb {Z} +\{0,1/2\},\;a-b,a-c,a-d\in \mathbb {Z} \}}$

및 립시츠 사원수(영어: Lipschitz quaternion)의 환

${\displaystyle \{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \colon a,b,c,d\in \mathbb {Z} \}}$

역시 비가환 영역을 이룬다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 텐서 대수(자유 단위 결합 대수) ${\displaystyle K\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle }$는 영역이며, ${\displaystyle n\geq 2}$일 경우 비가환 영역이다.

표수가 0인 체 ${\displaystyle K}$ 위의 바일 대수 ${\displaystyle K\langle x,p\rangle /(xp-px-1)}$ 역시 비가환 영역이다.

리 대수 위의 보편 포락 대수는 영역이며, 리 대수가 비아벨 리 대수인 경우 이는 비가환 영역이다.

임의의 환 ${\displaystyle R}$ 및 양의 정수 ${\displaystyle n\geq 2}$에 대하여, 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}$는 영역이 아니다. (만약 ${\displaystyle R}$가 자명환이 아니라면 이는 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 영인자를 갖고, 만약 ${\displaystyle R}$가 자명환이라면 행렬환 역시 자명환이다.)

군환의 영역성

군 ${\displaystyle G}$ 및 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle G}$의 꼬임 부분군이 자명하지 않을 경우 군환 ${\displaystyle K[G]}$는 0이 아닌 영인자를 가져 영역이 될 수 없다. 예를 들어, 만약 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여 ${\displaystyle g^{n}=1}$이라면,

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$

이 된다.

일반적으로, 꼬임 부분군이 자명한 군에 대한 군환이 항상 영역이 되는지는 미해결 문제이다. 만약 ${\displaystyle G}$가 꼬임 부분군이 자명한 가해군이라면 군환이 영역을 이룬다는 사실이 알려져 있다.

각주

1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.

외부 링크

• “Integral domain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

같이 보기

• 정역
• 소환 (환론)