군환

추상대수학에서 군환(群環, 영어: group ring 그룹링^[*])은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다.

정의

집합 ${\displaystyle G}$와 환 ${\displaystyle R}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle G}$로부터 생성되는 ${\displaystyle R}$-자유 가군을 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle R[G]=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}g\qquad r\in R^{G},\;|\{g\in G\colon r_{g}\neq 0\}|<\aleph _{0}\}\right\}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 유한 개의 대상(및 유한 또는 무한 개의 사상)을 갖는 작은 범주이며, ${\displaystyle R}$가 환이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}$으로부터 생성되는 ${\displaystyle R}$-자유 가군 ${\displaystyle R[\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})]}$ 위에 다음과 같은 ${\displaystyle R}$-선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.

${\displaystyle f\cdot g={\begin{cases}g\circ f&\operatorname {dom} g=\operatorname {codom} f\\0&\operatorname {dom} g\neq \operatorname {codom} f\end{cases}}}$

즉, 다음과 같다.

${\displaystyle (r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\cdots +r_{m}f_{m})\cdot (s_{1}g_{1}+s_{2}g_{2}+\cdots +s_{n}g_{n})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}r_{i}s_{j}(f_{i}\cdot g_{j})\qquad \left(r_{i},s_{j}\in R,\;f_{i},g_{j}\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})\right)}$

이 곱셈은 결합 법칙 및 분배 법칙을 따르며, 항등원

${\displaystyle 1_{R[{\mathcal {C}}]}=\sum _{X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}\operatorname {id} _{X}}$

을 가진다. (만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 무한 개의 대상들을 갖는다면, 곱셈 항등원이 존재하지 않게 된다.) 따라서, 이는 환을 이루며, 이를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 범주환(영어: category ring) ${\displaystyle R[{\mathcal {C}}]}$이라고 한다.

특히, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 하나의 대상만을 갖는다면, 이는 모노이드로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 모노이드 환(영어: monoid ring)이라고 한다. 만약 추가로 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 군이라면, 이 경우 범주환을 군환이라고 한다.

성질

모노이드 ${\displaystyle M}$에 대한 ${\displaystyle R}$ 계수 모노이드 환은 자연스럽게 ${\displaystyle (R,R)}$-쌍가군의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 자유 가군이자 오른쪽 자유 가군이다.

${\displaystyle R}$가 체 ${\displaystyle k}$일 경우, 군환 ${\displaystyle k[G]}$는 벡터 공간을 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle k[G]}$의 차원은 ${\displaystyle |G|}$이다. (이는 ${\displaystyle G}$가 무한 반군일 경우에도 하멜 차원(Hamel dimension)으로서 성립한다.)

군의 가군

군 ${\displaystyle G}$ 위의 가군(영어: G-module)은 그 정수 계수의 군환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$의 가군이다. 이는 군 표현을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군 ${\displaystyle (M,\rho )}$는 아벨 군 ${\displaystyle M}$과 군의 작용 ${\displaystyle \rho \colon G\times M\to M}$으로 이루어져 있으며, ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle a,b\in M}$에 대하여 ${\displaystyle g(a+b)=ga+gb}$을 만족시킨다.

유한군 ${\displaystyle G}$와 체 ${\displaystyle K}$가 주어졌고, 또

${\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|}$

라고 하자. (즉, ${\displaystyle G}$의 크기는 ${\displaystyle K}$의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 ${\displaystyle K[G]}$를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 ${\displaystyle K[G]}$는 반단순환이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽 ${\displaystyle K[G]}$-가군은 반단순 가군이다.

이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다.^[1][2]

예

다항식환

자연수의 덧셈 모노이드 ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$를 생각하자. 이는 곱셈 표기법으로 ${\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3},\dots \}}$로 적을 수 있다. 임의의 환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 모노이드 환 ${\displaystyle R[\mathbb {N} ]}$은 다항식환 ${\displaystyle R[x]}$와 같다.

마찬가지로, 무한 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )=\{\dots ,x^{-2},x^{-1},1,x,x^{2},\dots \}}$ 위의 군환은 다음과 같다.

${\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (\infty )]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)}$

마찬가지로, 유한 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\{1,x,x^{2},\dots ,x^{n-1}\}}$ 위의 군환은 다음과 같다.

${\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (n)]\cong R[x]/(x^{n})}$

행렬환

집합 ${\displaystyle S}$에 대하여, 순서쌍 준군 ${\displaystyle \operatorname {Pair} (S)}$는 다음과 같은 준군이다.

• 대상은 ${\displaystyle S}$의 원소이다. 즉, 대상 집합은 ${\displaystyle S}$이다.
• 임의의 두 대상 ${\displaystyle s,t\in S}$에 대하여 유일한 사상 ${\displaystyle (s,t)\colon s\to t}$이 존재한다. 따라서, 사상 집합은 순서쌍으로 구성된 곱집합 ${\displaystyle S\times S}$로 생각할 수 있다.

만약 ${\displaystyle S}$가 크기 ${\displaystyle n}$의 유한 집합일 때, 임의의 환 ${\displaystyle R}$에 대하여 준군환 ${\displaystyle R[\operatorname {Pair} (S)]}$는 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}$와 동형이다.

함수환

유한 집합 ${\displaystyle S}$ 위의 이산 범주 (모든 사상이 항등 사상인 범주) 위의 범주환 ${\displaystyle R[S]}$는 ${\displaystyle S}$ 위의 ${\displaystyle R}$ 값의 함수들의 환 ${\displaystyle R^{S}}$이다.

각주

1. Maschke, Heinrich (1898). “Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 50 (4): 492–498. doi:10.1007/BF01444297. JFM 29.0114.03. MR 1511011.
2. Maschke, Heinrich (1899). “Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 52 (2–3): 363–368. doi:10.1007/BF01476165. JFM 30.0131.01. MR 1511061.

• Passman, D. S. (1976년 3월). “What is a group ring?” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 (영어): 173–185. doi:10.2307/2977018. JSTOR 2977018. Zbl 0318.16002. 2016년 8월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 3일에 확인함.
• Gilmer, R. (1984). 《Commutative semigroup rings》 (영어). University of Chicago Press.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). 《An introduction to group rings》. Algebras and applications (영어) 1. Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0.
• Passman, D. S. (1977). 《The algebraic structure of group rings》 (영어). Wiley.

외부 링크

• “Group algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Group algebra”. 《nLab》 (영어).
• “Category algebra”. 《nLab》 (영어).
• “군환”. 《오메가》.^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}