축소환

환론에서 축소환(縮小環, 영어: reduced ring)은 0이 아닌 멱영원을 갖지 않는 환이다. 즉, 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환이다.

정의

(곱셈 단위원을 갖는) 환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 축소환이라고 한다.

• 0이 아닌 모든 원소는 멱영원이 아니다. 즉, 임의의 0이 아닌 원소 ${\displaystyle r\in R\setminus \{0\}}$ 및 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle r^{n}\neq 0}$이다.^[1]:4
• 임의의 0이 아닌 원소 ${\displaystyle r\in R\setminus \{0\}}$ 및 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle r^{2}\neq 0}$이다.
• (유한 개 또는 무한 개의) 영역들의 직접곱의 부분환이다.^{[1]:207, Theorem (12.7)} (0개의 환의 직접곱은 자명환이다.)

축소 스킴

축소환의 개념은 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 대수기하학에서, 멱영원은 무한소 함수로 해석된다. 즉, 거듭제곱을 하면 0이 되는 (즉, 무시할 수 있는) 무한소의 값을 갖는 함수이다.

축소 아핀 스킴(영어: reduced affine scheme)은 축소환의 스펙트럼과 동형인 아핀 스킴이다. 축소 스킴(영어: reduced scheme)은 축소 아핀 스킴으로 덮을 수 있는 스킴이다.

모든 대수다양체는 (정의에 따라) 축소 스킴을 이룬다.

성질

함의 관계

다음 함의 관계가 성립한다.^[1]:153

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
左·右 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

체		정역
⇕		⇕
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇕		⇕		⇕
左·右 원시환		소환		반소환

닫힘 성질

축소환들은 부분환·직접곱·국소화에 대하여 닫혀 있다. 즉, 축소환의 부분환·국소화 및 축소환들의 곱 역시 축소환이다.

영근기

 이 부분의 본문은 영근기입니다.

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 축소환이다.
• 영근기가 영 아이디얼이다.

가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 영근기에 대한 몫환은 가환 축소환을 이룬다.

예

자명환은 (자명하게) 축소환이다.

모든 정역은 축소환이다. 즉, 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이나 모든 체는 축소환이다. 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$는 정역이 아니지만 축소환이다.

축소환이 아닌 환으로는 예를 들어 체 ${\displaystyle K}$에 대하여 ${\displaystyle K[x]/(x^{n})}$ (${\displaystyle n>0}$)가 있다. 이 경우, ${\displaystyle (x^{n-1})^{2}=0}$이므로 ${\displaystyle x^{n-1}}$은 멱영원을 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$가 축소환일 필요충분조건은 ${\displaystyle n}$이 제곱인자를 갖지 않는 것이다.

각주

1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.

외부 링크

• “Reduced scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Reduced scheme”. 《nLab》 (영어).
• “Definition: reduced rings”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Radical ideal iff quotient ring is reduced”. 《ProofWiki》 (영어).
• Sharifi, Yaghoub (2010년 6월 4일). “About reduced rings (1)”. 《Abstract Algebra》 (영어).
• Sharifi, Yaghoub (2010년 6월 4일). “About reduced rings (2)”. 《Abstract Algebra》 (영어).
• Krempa, Jan. “Some generalizations of reduced rings” (PDF) (영어).