교집합

집합론에서, 두 집합 A와 B의 교집합(交集合, 영어: intersection) A ∩ B는 그 두 집합이 공통으로 포함하는 원소로 이루어진 집합이다.

집합 A와 B의 교집합을 표현한 벤 다이어그램

예를 들어, 두 집합 {★, ●, ◆}, {●, ◆, ♥}의 교집합은 {●, ◆}이다. 두 집합에 교집합을 취하면 아무 원소도 남지 않게 되는 경우도 있다. 짝수와 홀수의 집합의 교집합이 공집합인 것이 그 예이다. 이런 두 집합을 서로소 집합이라고 한다.

셋 이상의 집합, 나아가 무한히 많은 집합들에게도 교집합을 취할 수 있다. 집합 여럿의 교집합은 동시에 그들 모두의 원소인 대상들을 모아놓은 집합이다.

벤 다이어그램에서, 교집합은 여러 원의 겹친 부분으로 표현된다. (오른쪽 그림)

집합을 공리화한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 교집합의 합리성은 분류 공리꼴과 확장 공리에 따라 보장된다.

정의와 예시

A ∩ B

A ∩ B ∩ C

두 집합 A, B의 교집합은 A ∩ B로 표기하며, A에도 속하고 B에도 속하는 원소들을 골라놓은 집합을 뜻한다. 즉,

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}}$

또는

x ∈ A ∩ B일 필요충분조건은 x ∈ A 또한 x ∈ B

다음은 두 집합의 교집합의 예이다.

• 두 집합 {1, 2}, {2, 3}의 교집합은 {2}이다.
• 2의 배수(짝수)와 3의 배수의 집합의 교집합은 6의 배수의 집합이다.
• 서로소인 두 집합, 이를테면 유리수, 무리수 집합의 교집합은 공집합이다.

여럿의 교집합

임의의 개수의 집합의 교집합은 그들 모두에 동시에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 여러 개의 집합, 예를 들어 A, B, C, D, E의 교집합은 그들 사이사이에 교집합 기호를 써 표시한다.

${\displaystyle A\cap B\cap C\cap D\cap E}$

각각의 집합에 첨수(예를 들어 양의 정수 1, 2, ...)를 부여해 대형 연산자를 통해 나타내는 방법도 있다. 예를 들어

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{5}A_{i},\qquad \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i},\qquad \bigcap _{i\in I}C_{i}}$

는 각각 A₁, A₂, A₃, A₄, A₅의 교집합, B₁, B₂, ...의 교집합, C_i (i ∈ I, I는 첨수집합, I ≠ Ø)의 교집합을 나타낸다. 이때

${\displaystyle x\in \bigcap _{i\in I}C_{i}\ \Longleftrightarrow \ \forall i\in I,\ x\in C_{i}}$

가 성립한다.

집합을 원소로 갖는, 공집합이 아닌 집합 A의 교집합 ⋂A(임의의 교집합, 영어: arbitrary intersection)는 A의 모든 원소에 동시에 속하는 대상으로 이루어진 집합이다. 즉

${\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {A}}\ \iff \ \forall A\in {\mathcal {A}},\ x\in A}$

성질

 이 부분의 본문은 집합대수입니다.

공리적 집합론

선택공리를 더하거나 더하지 않은 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 집합들의 교집합은 분류 공리꼴에 따라 그 존재성이, 확장 공리에 따라 그 유일성이 보장된다. 예를 들어, 두 집합 A와 B의 교집합은

${\displaystyle \forall x\,(x\in C\iff (x\in A\land x\in B))}$

를 만족하는 유일한 집합 C로 정의된다. 공집합이 아닌 집합족 A의 교집합은

${\displaystyle \forall x\,(x\in C\iff (x\in A_{0}\land \forall A\in {\mathcal {A}}\,(x\in A)))}$

를 만족하는 유일한 집합 C로 정의된다. 여기서 A₀은 A의 어떤 원소이며, 이에 대한 선택은 정의에 영향을 주지 않는다.

보다 일반적으로, 모임들의 "교집합"과 집합들의 모임의 "교집합"을 정의할 수 있다.

같이 보기

• 서로소 집합
• 논리곱