군의 작용

군론에서 군의 작용(群의作用, 영어: group action)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

정의

모노이드 ${\displaystyle M}$의, 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 왼쪽 작용(영어: left action of ${\displaystyle M}$ on ${\displaystyle X}$)은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 ${\displaystyle M\times X\to X}$로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 ${\displaystyle M}$의 작용을 갖춘 집합을 ${\displaystyle M}$-집합(영어: ${\displaystyle M}$-set)이라고 한다. 두 ${\displaystyle M}$-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수(等變函數, 영어: equivariant function)라고 한다. ${\displaystyle M}$-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를 ${\displaystyle M{\text{-Set}}}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}$으로 쓴다.

모든 군은 모노이드를 이루며, 군의 작용(영어: group action)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 ${\displaystyle M}$의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)

함수를 통한 정의

모노이드 ${\displaystyle M}$의, 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 왼쪽 작용(영어: left action of ${\displaystyle M}$ on ${\displaystyle X}$)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 ${\displaystyle \cdot \colon M\times X\to X}$이다.

• (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle 1_{M}\cdot x=x}$. 여기서 ${\displaystyle 1_{M}\in M}$은 ${\displaystyle M}$의 항등원이다.
• (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 ${\displaystyle m,n\in M}$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle (mn)\cdot x=m\cdot (n\cdot x)}$

모노이드 ${\displaystyle M}$의, 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 오른쪽 작용(영어: right action of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 ${\displaystyle \cdot \colon X\times M\to X}$이다.

• (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\cdot 1_{M}=x}$. 여기서 ${\displaystyle 1_{M}\in M}$은 ${\displaystyle M}$의 항등원이다.
• (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 ${\displaystyle m,n\in M}$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\cdot (mn)=(x\cdot m)\cdot n}$

모노이드 ${\displaystyle M}$의 작용을 갖춘 두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

${\displaystyle \forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)}$

여기서 좌변은 ${\displaystyle Y}$ 위의 작용이고, 우변은 ${\displaystyle X}$ 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M\times X&\to &X\\{\scriptstyle M\times f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\M\times Y&\to &Y\end{matrix}}}$

준동형을 통한 정의

추상적으로, 모노이드 ${\displaystyle M}$의, 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 왼쪽 작용은 ${\displaystyle M}$에서 ${\displaystyle X}$ 위의 자기 함수들의 모노이드 ${\displaystyle \operatorname {End} X}$로 가는 모노이드 준동형

${\displaystyle \phi \colon M\to \operatorname {End} X}$

이며, ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle X}$ 위의 오른쪽 작용은 반대 모노이드 ${\displaystyle M^{\operatorname {op} }}$에서 ${\displaystyle \operatorname {End} X}$로 가는 모노이드 준동형

${\displaystyle M^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} X}$

이다. 만약 ${\displaystyle G}$가 군일 경우, 왼쪽 작용은 ${\displaystyle X}$의 대칭군 (=자기 동형군) ${\displaystyle \operatorname {Sym} X}$으로 가는 군 준동형

${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} X}$

을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형

${\displaystyle G^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Sym} X}$

을 이룬다.

모노이드 ${\displaystyle M}$의 작용을 갖춘 두 집합

${\displaystyle \phi _{X}\colon M\to \operatorname {End} X}$

${\displaystyle \phi _{Y}\colon M\to \operatorname {End} Y}$

이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi _{X}}}&\operatorname {End} X\\{\scriptstyle \phi _{Y}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\circ \\\operatorname {End} Y&{\xrightarrow[{\circ f}]{}}&\hom(X,Y)\end{matrix}}}$

범주론적 정의

범주론적으로, ${\displaystyle M}$의 작용은 ${\displaystyle M}$을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자

${\displaystyle F\colon M\to \operatorname {Set} }$

와 동치이다. 이 경우, ${\displaystyle M}$이 작용하는 집합은 범주 ${\displaystyle M}$의 유일한 대상 ${\displaystyle \bullet _{M}}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 상 ${\displaystyle F(\bullet _{M})\in \operatorname {Set} }$이며, ${\displaystyle m\in M}$의 작용은 ${\displaystyle F}$에 대한 상 ${\displaystyle F(m)\colon F(\bullet _{M})\to F(\bullet _{M})}$이다.

두 ${\displaystyle M}$-집합

${\displaystyle F\colon M\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle G\colon M\to \operatorname {Set} }$

사이의 등변 함수 ${\displaystyle F\Rightarrow G}$는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환 ${\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}$에 대응하는 등변 함수는 ${\displaystyle \eta }$의 성분

${\displaystyle \eta _{\bullet _{M}}\colon F(\bullet _{M})\to G(\bullet _{M})}$

이다.

따라서, ${\displaystyle M}$-집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}$은 사실 (작은 범주로 간주한) ${\displaystyle M}$에서 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$로 가는 함자 범주와 동치이다.

궤도와 안정자군

군 ${\displaystyle G}$가 집합 ${\displaystyle X}$에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. ${\displaystyle x\in X}$의 궤도(軌道, 영어: orbit) ${\displaystyle G\cdot x}$는 다음과 같다.

${\displaystyle G\cdot x=\{g\cdot x\colon g\in G\}}$

궤도는 ${\displaystyle G}$ 위의 동치 관계

${\displaystyle x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y}$

의 동치류와 같으며, ${\displaystyle X}$는 궤도들로 분할된다.

임의의 ${\displaystyle x\in X}$의 안정자군(安定子群, 영어: stabilizer subgroup) ${\displaystyle G_{x}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\colon g\cdot x=x\}}$

즉, 안정자군 ${\displaystyle G_{x}}$는 ${\displaystyle G}$의 원소 중 ${\displaystyle x}$를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.

작용 준군

모노이드 ${\displaystyle M}$이 집합 ${\displaystyle X}$ 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상은 ${\displaystyle X}$의 원소이다.
• ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\}}$이다.
• ${\displaystyle x\in X}$ 위의 항등 사상은 ${\displaystyle 1_{M}\in \hom _{\mathcal {C}}(x,x)}$이다.

이를 작용 범주(作用範疇, 영어: action category, translation category)라고 한다.^{[1]:315, 3.3.1} 만약 ${\displaystyle M}$이 군이라면, ${\displaystyle X}$ 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, 영어: action groupoid, translation groupoid)이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

성질

군의 왼쪽 작용 ${\displaystyle \cdot \colon G\times X\to X}$이 주어졌을 때,

• ${\displaystyle g\in G}$에 대하여 ${\displaystyle g\cdot \colon X\to X}$는 전단사 함수이다.
• (역원은 역함수) ${\displaystyle g\in G}$에 대하여 ${\displaystyle g^{-1}\cdot =(g\cdot )^{-1}}$이다. 여기서 ${\displaystyle (g\cdot )^{-1}}$는 전단사 함수의 역함수이다.

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계

임의의 모노이드 ${\displaystyle M}$에 대하여, 왼쪽 ${\displaystyle M}$-작용은 오른쪽 ${\displaystyle M^{\operatorname {op} }}$-작용과 같다. 여기서 ${\displaystyle M^{\operatorname {op} }}$은 ${\displaystyle M}$의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군 ${\displaystyle G}$는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형

${\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname {op} }}$

이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 ${\displaystyle G}$-작용을 왼쪽 ${\displaystyle G}$-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 ${\displaystyle G}$-작용 ${\displaystyle r\colon X\times G\to X}$에 대하여,

${\displaystyle \ell \colon G\times X\to X}$

${\displaystyle \ell (g,x)=r(x,g^{-1})}$

로 정의한다면, ${\displaystyle \ell }$은 왼쪽 ${\displaystyle G}$-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 ${\displaystyle G}$-작용 ${\displaystyle \ell \colon G\times X\to X}$가 주어졌을 때

${\displaystyle r\colon X\times G\to X}$

${\displaystyle r(x,g)=\ell (g^{-1},x)}$

는 오른쪽 ${\displaystyle G}$-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

궤도-안정자군 정리

안정자군 ${\displaystyle G_{x}}$는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, 영어: orbit–stabilizer theorem)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.

• ${\displaystyle G\cdot x}$의 원소 ${\displaystyle g\cdot x}$를 왼쪽 잉여류 ${\displaystyle gG_{x}}$로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 ${\displaystyle g,h\in G}$에 대하여, ${\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}$라면 ${\displaystyle gG_{x}=hG_{x}}$이다.
• 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle g,h\in G}$에 대하여, ${\displaystyle gG_{x}=hG_{x}}$라면 ${\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}$이다.

특히, 만약 ${\displaystyle G}$가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.

${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]=|G|/|G_{x}|}$

보편대수학적 성질

모노이드 ${\displaystyle M}$에 대하여, ${\displaystyle M}$-집합은 ${\displaystyle M}$의 각 원소 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여 1항 연산 ${\displaystyle m\cdot }$을 가지며, 대수적 관계

${\displaystyle 1\cdot x=x\qquad \forall x\in X}$

${\displaystyle m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad \forall x\in X}$

를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, ${\displaystyle M}$-집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 자유 ${\displaystyle M}$-집합은 곱집합 ${\displaystyle M\times X}$이며, 그 위의 작용은

${\displaystyle m\cdot (n,x)=(mn,x)}$

이다.

범주론적 성질

모노이드 ${\displaystyle M}$에 대하여, ${\displaystyle M}$-집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}$은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다.^[2] 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

${\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}$의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다. ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}$의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}$의 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}$의 부분 대상 분류자 ${\displaystyle R_{M}}$은 ${\displaystyle M}$ 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합

${\displaystyle R_{M}=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}}$

이다.^[2] 이 위의 ${\displaystyle M}$의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle M\times R_{M}\to R_{M}}$

${\displaystyle (m,I)\mapsto mI}$

망각 함자

${\displaystyle U\colon \operatorname {Set} ^{M}\to \operatorname {Set} }$

가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 ${\displaystyle F}$와 오른쪽 수반 함자 ${\displaystyle G}$를 갖는다.^[2]

${\displaystyle F\dashv U\dashv G}$

왼쪽 수반 함자 ${\displaystyle F}$는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle M\times X}$로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 ${\displaystyle G}$는 집합 ${\displaystyle X}$를 함수들의 집합 ${\displaystyle X^{M}}$으로 대응시킨다. ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle X^{M}}$ 위의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle (m\cdot f)(n)=f(mn)}$

종류

군 ${\displaystyle G}$가 집합 ${\displaystyle X}$ 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.

추이적 작용

군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-추이적 작용(n-推移的作用, 영어: n-transitive action)이라 한다.

• 임의의 서로 다른 원소들 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X}$ 및 임의의 서로 다른 원소들 ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\in X}$에 대하여, ${\displaystyle g\cdot x_{k}=y_{k}}$ (${\displaystyle \forall k\in \{1,\dots ,n\}}$)인 ${\displaystyle g\in G}$가 존재한다.

만약 여기서 이러한 ${\displaystyle g}$가 유일하다면, 이를 n-정추이적 작용(n-正推移的作用, 영어: sharply n-transitive action)이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-정추이적 작용이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 원소들 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X}$ 및 임의의 서로 다른 원소들 ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\in X}$에 대하여, ${\displaystyle g\cdot x_{k}=y_{k}}$ (${\displaystyle \forall k\in \{1,\dots ,n\}}$)인 유일한 ${\displaystyle g\in G}$가 존재한다.

1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, 영어: transitive action)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, 영어: sharply transitive action) 또는 정칙 작용(正則作用, 영어: regular action)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.

충실한 작용과 자유 작용

군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용(忠實-作用, 영어: faithful action) 또는 효과적 작용(效果的作用, 영어: effective action)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle g,h\in G}$에 대하여, 만약 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 ${\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}$라면, ${\displaystyle g=h}$
• 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, 만약 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 ${\displaystyle g\cdot x=x}$라면, ${\displaystyle g=1_{G}}$
• 단사 군 준동형이다.

군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용(自由作用, 영어: free action) 또는 반정칙 작용(半正則作用, 영어: semiregular action)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle g,h\in G}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}$인 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다면, ${\displaystyle g=h}$
• 임의의 ${\displaystyle g,h\in G}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle g\cdot x=x}$인 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다면, ${\displaystyle g=1_{G}}$

같이 보기

• 군의 표현
• 가군

각주

1. Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 145. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl 1273.19001.
2. Ebrahimi, M. Mehdi; Mahmoudi, M. (2001). “The category of M-sets” (PDF). 《Italian Journal of Pure and Applied Mathematics》 (영어) 9: 123-132. ISSN 1126-8042.

외부 링크

• “Group action”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Action of a group on a manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Stabilizer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Transitive group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Orbit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group action”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transitive group action”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Faithful group action”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group orbit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Stabilizer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “G-set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “G-set”. 《nLab》 (영어).
• “Action”. 《nLab》 (영어).
• “Action groupoid”. 《nLab》 (영어).
• Gowers, Timothy (2011년 11월 6일). “Group actions I”. 《Gowers's Weblog》 (영어).
• Gowers, Timothy (2011년 11월 9일). “Group actions II: the orbit-stabilizer theorem”. 《Gowers's Weblog》 (영어).