잉여류

군론에서 잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋^[*])는 주어진 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계의 동치류이다.

${\displaystyle G=\mathbb {Z} /8}$ 속의, ${\displaystyle H=\{0,4\}\cong \mathbb {Z} /2}$의 잉여류들

정의

${\displaystyle G}$가 군이고, ${\displaystyle H\leq G}$가 그 부분군이며, ${\displaystyle g\in G}$가 ${\displaystyle G}$의 원소일 때, ${\displaystyle g}$가 속하는 ${\displaystyle H}$의 왼쪽 잉여류(영어: left coset)는 다음과 같다.

${\displaystyle gH=\{gh\colon h\in H\}}$

마찬가지로, ${\displaystyle g}$가 속하는 ${\displaystyle H}$의 오른쪽 잉여류(영어: right coset)는 다음과 같다.

${\displaystyle Hg=\{hg\colon h\in H\}}$

(아벨 군의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를 ${\displaystyle g+H}$나 ${\displaystyle H+g}$로 표기한다.)

${\displaystyle G}$ 속의 ${\displaystyle H}$의 모든 왼쪽 잉여류의 집합을 ${\displaystyle G/H}$라고 표기한다. (만약 ${\displaystyle H}$가 정규 부분군일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군이라고 한다.) ${\displaystyle G/H}$의 크기는 ${\displaystyle |G:H|}$라고 표기하며, ${\displaystyle H}$의 ${\displaystyle G}$ 속에서의 지표(指標, 영어: index)라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.

잉여류 공간

${\displaystyle G}$가 위상군이라고 하자. 그렇다면, 왼쪽 잉여류 집합 ${\displaystyle G/H}$는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간(영어: coset space)이라고 한다. 이는 동차공간을 이룬다.

성질

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 모든 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle gH=Hg}$이다.
• ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이다.

라그랑주 정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle G}$가 유한군이라면, 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$의 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$

만약 일련의 부분군들 ${\displaystyle K\leq H\leq G}$이 주어졌다면,

${\displaystyle |G:K|=|G:H||H:K|}$

이다. 여기서 우변은 기수의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로, 유한군 ${\displaystyle G}$ 및 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle |G|}$의 최소 소인수라면, 지표가 ${\displaystyle p}$인 부분군은 항상 정규 부분군이다.

증명:

우선, 군 ${\displaystyle G}$와 부분군 ${\displaystyle N\leq G}$가 주어졌고, ${\displaystyle |G:N|=2}$라고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여

${\displaystyle gN=Ng={\begin{cases}N&g\in N\\G\setminus N&g\not \in N\end{cases}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이다.

유한군 ${\displaystyle G}$ 및 소수 ${\displaystyle p}$ 및 부분군 ${\displaystyle N\leq G}$가 주어졌고, ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle |G|}$의 최소 소인수이며, ${\displaystyle |G|/|N|=p}$라고 하자. ${\displaystyle N}$이 정규 부분군이라는 사실을 증명하려면, 임의의 ${\displaystyle g\in G\setminus N}$에 대하여 ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$임을 보이면 된다.

${\displaystyle H=gNg^{-1}\cap N\leq N}$

이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle |N|/|H|=1}$임을 보이기만 하면 된다.

${\displaystyle |gNg^{-1}N|=|N|^{2}/|H|\leq |G|}$

이므로

${\displaystyle |N|/|H|\leq |G|/|N|=p}$

이다. ${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle |G|}$의 최소 소인수이므로, ${\displaystyle |N|/|H|=1}$이거나 ${\displaystyle |N|/|H|=p}$이다. 만약 ${\displaystyle |N|/|H|=p}$라면,

${\displaystyle |gNg^{-1}N|=p|N|=|G|}$

이므로 ${\displaystyle G=gNg^{-1}N}$이며, 특히

${\displaystyle g=gng^{-1}n'}$

인 ${\displaystyle n,n'\in N}$이 존재한다.

${\displaystyle g^{-1}=n^{-1}{n'}^{-1}\in N}$

이므로 ${\displaystyle g\in G\setminus N}$와 모순이다. (이 명제는 정규핵을 사용하여 증명할 수도 있다.)

예

정수의 덧셈군 ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ 속의, ${\displaystyle n}$의 배수들로 구성된 부분군

${\displaystyle H=n\mathbb {Z} }$

을 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$의 잉여류

${\displaystyle k+H=H+k=\{x\in \mathbb {Z} \colon x\equiv k{\pmod {n}}\}\subseteq G}$

는 ${\displaystyle k}$와 합동인 정수들의 집합이다. 이 경우 ${\displaystyle H}$는 정규 부분군이므로, 잉여류 공간 ${\displaystyle G/H=\operatorname {Cyc} (n)}$은 몫군을 이루며, 이는 크기 ${\displaystyle n}$의 순환군이다.

같이 보기

• 여차원
• 동차 공간
• 대칭 공간
• 이중 잉여류

외부 링크

• “Coset in a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Coset”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Left coset”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Right coset”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Subgroup index”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Subgroup of least prime index is normal”. 《Groupprops, The Group Properties Wiki》 (영어).