자기 동형 사상

수학에서 자기 동형 또는 자기 동형 사상(自己同型寫像, 영어: automorphism)은 수학적 대상의 자기 사상인 동형 사상이다. 대상의 모든 구조를 유지하면서 대상을 자기 자신으로 사상하므로 이는 대상의 대칭을 나타낸다고 할 수 있다. 대상의 모든 자기 동형 사상의 집합은 그 대상의 대칭군이라고 할 수 있는 자기동형군을 형성한다.

두 케일리 그래프 간의 자기 동형 사상, 주기 표기법의 순열 및 두 케일리 표 사이의 함수로 표시된 클라인 4원군의 자기 동형 사상.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 자기 동형 사상은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, ${\displaystyle X}$의 자기 사상 ${\displaystyle f:X\to X}$가 자기 동형 사상이라는 것은 ${\displaystyle f\circ g=g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$를 만족하는 사상 ${\displaystyle g:X\to X}$이 존재한다는 것을 의미한다.

국소적으로 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서 대상 ${\displaystyle X}$의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이 군에서, 항등원은 항등 사상이며, 역원은 역사상이다. 이를 자기 동형군(自己同型群, 영어: automorphism group)이라고 하고, ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$로 쓴다. 즉, 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$는 ${\displaystyle X}$의 자기 사상 모노이드 ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$의 가역원들로 구성된 부분 모노이드이다.

예

• 주어진 부호수의 대수 구조와 그 준동형의 구체적 범주 (또는 그 충만한 부분 범주)에서, 자기 동형 사상은 단순히 전단사 함수인 자기 준동형이다.
  • 집합의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 함수(순열)이며, 집합 ${\displaystyle S}$의 자기 동형군은 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (S)}$이라고 한다.
  • 체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간의 범주 ${\displaystyle K{\text{-Vect}}}$에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 선형 변환이며, 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 자기 동형군은 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (V;K)}$이다.
  • 군의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 군 준동형이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군 ${\displaystyle G}$에 대해 상이 내부 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$이고 핵이 중심 ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$인 자연스러운 군 준동형 ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (G)}$가 존재한다. 따라서 ${\displaystyle G}$의 중심이 자명하다면, ${\displaystyle G}$는 자신의 자기동형군의 부분군으로 여길 수 있다.^[1] 이 경우 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 자기 동형탑을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 유한군의 자기 동형탑은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다.
• 갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.
• 모노이드 ${\displaystyle M}$을 하나의 대상 ${\displaystyle \bullet }$을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\bullet )}$은 ${\displaystyle M}$의 가역원들의 군
  ${\displaystyle \{m\in M\colon \exists n\in M\colon mn=nm=1\}}$
  이다. 특히, 만약 ${\displaystyle M}$이 군이라면, ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\bullet )\cong M}$이다.
• 정수의 덧셈군 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 유일한 비항등 자기 동형 사상 ${\displaystyle 1\mapsto -1}$을 갖는다. 그러나 환으로서의 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.
• 체(와 환 준동형)의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 전사 자기 환 준동형이며, 이는 자동적으로 전단사 함수가 된다. 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$와 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다. ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어, ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}}$ (${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$)는 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 전체로 확장되지는 않는다. 복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$의 자기 동형 사상은 체의 확대 ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$의 자기 동형 사상과 동치이다. ${\displaystyle \mathbb {R} }$을 ${\displaystyle \mathbb {R} }$로 보내는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$의 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 밖에 없으며, 이 둘은 유일한 ${\displaystyle \mathbb {C} }$의 연속 자기 동형 사상이기도 하다. 선택 공리를 가정하면, ${\displaystyle \mathbb {C} }$의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은 ${\displaystyle \mathbb {C} }$의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는 ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$이다.^[2][3]
• 사원수 ${\displaystyle \mathbb {H} }$의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소 ${\displaystyle b}$에 대해 ${\displaystyle a\mapsto bab^{-1}}$ 형식을 갖는다.^[4] 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 SO(3)과 동형이다.
• 팔원수 ${\displaystyle \mathbb {O} }$의 자기동형군은 예외적 리 군 G₂이다.
• 그래프(와 그래프 준동형)의 범주에서, 그래프의 자기 동형 사상은 변과 변이 아닌 것을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되면 순열에 의한 상도 연결되어 있다.
• 기하학에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다.
  • 거리 공간과 등거리변환의 범주에서, 자기 동형 사상은 전사 자기 등거리변환이다. 이는 자동으로 전단사 함수가 되며, 역함수 역시 등거리변환이다. 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 거리 공간으로서의 자기 동형군은 유클리드 군 ${\displaystyle \operatorname {IO} (n)}$이다.
  • 리만 곡면(과 정칙 함수)의 범주에서, 자기 동형 사상은 자기 쌍정칙 함수(등각 사상)이다. 예를 들어, 리만 구의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.
  • 매끄러운 다양체(와 매끄러운 함수)의 범주에서, 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 자기 동형 사상은 자신으로의 미분 동형 사상이며, 그 자기동형군은 흔히 ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$으로 표기한다.
  • 위상 공간(과 연속 함수)의 범주에서, 위상 공간의 자기 동형 사상은 자신으로의 위상 동형 사상이다. 이때 전단사 연속 함수는 위상 동형 사상이 되기 위한 충분 조건이 아니다.

체의 확대

임의의 체 ${\displaystyle K}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 ${\displaystyle K\backslash \operatorname {Field} }$를 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle K\backslash \operatorname {Field} }$의 대상은 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$들이다.
• ${\displaystyle K}$의 확대 ${\displaystyle L/K}$와 ${\displaystyle L'/K}$ 사이의 사상은 ${\displaystyle K}$-대수 단사 준동형 ${\displaystyle L\to L'}$이다. (단사 조건은 가정하지 않더라도 자동적으로 성립한다.)

이 범주에서, ${\displaystyle L/K}$의 자기 동형 사상은 ${\displaystyle K}$-대수 동형 ${\displaystyle L\to L}$이다. ${\displaystyle L/K}$가 대수적 확대일 때, 모든 ${\displaystyle K}$-대수 단사 준동형 ${\displaystyle L\to L}$은 ${\displaystyle K}$-대수 동형이다. 즉, 자동적으로 전사 함수가 된다.^{[5]:230, Lemma 2.1}

증명:

임의의 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 ${\displaystyle K}$-대수 단사 준동형 ${\displaystyle \sigma \colon L\to L}$ 및 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여, ${\displaystyle a\in \sigma (L)}$임을 보이면 족하다. ${\displaystyle p\in K[x]}$가 ${\displaystyle a}$의 최소 다항식이라고 하고, ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle p(x)}$의 ${\displaystyle L}$ 속의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle K(S)/K}$는 대수적 확대이자 유한 생성 확대이며, 따라서 유한 확대이다. 즉, ${\displaystyle K(S)}$의 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 차원은 유한하다. ${\displaystyle \sigma }$는 ${\displaystyle p}$의 근을 ${\displaystyle p}$의 근으로 보내므로, ${\displaystyle \sigma (K(S))\subseteq K(S)}$이다. ${\displaystyle \sigma }$는 단사 ${\displaystyle K}$-선형 변환이므로, ${\displaystyle \sigma (K(S))}$와 ${\displaystyle K(S)}$의 차원은 같다. 따라서, ${\displaystyle \sigma (K(S))=K(S)\supseteq S\ni a}$이다.

역사

최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 1856년 그의 정이십면체 대수(en:icosian calculus)에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다.^[6]

${\displaystyle \mu }$는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근 ${\displaystyle \lambda }$과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다.

내부 및 외부 자기 동형 사상

일부 범주(특히 군, 환, 리 대수)에서 자기 동형 사상을 "내부" 및 "외부" 자기 동형 사상의 두 가지 유형으로 분리할 수 있다.

군의 경우, 내부 자기 동형 사상은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군 ${\displaystyle G}$의 각 원소 ${\displaystyle a}$에 대해 ${\displaystyle a}$에 의한 켤레 ${\displaystyle \varphi _{a}:G\to G}$는 ${\displaystyle \varphi _{a}(g)=aga^{-1}}$으로 주어지는 연산이다. (대신 ${\displaystyle a^{-1}ga}$을 사용할 수도 있다.) ${\displaystyle a}$에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. Goursat의 보조정리에 따르면, 내부 자기 동형 사상은 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$의 정규 부분군을 형성한다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$으로 표기한다.

내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상은 외부 자기 동형 사상이다. 몫군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)}$은 일반적으로 ${\displaystyle \operatorname {Out} (G)}$으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형을 포함하는 잉여류이다.

단위원을 갖는 환 또는 대수에서 가역원 ${\displaystyle a}$에 대해 같은 정의를 적용할 수 있다. 리 대수의 경우 정의가 약간 다르다.

같이 보기

• 반 자기 동형 사상
• Automorphism (스도쿠 퍼즐에서)
• 특성 부분군
• 자기준동형환
• 프로베니우스 사상
• 사상
• 순서 자기 동형 (순서론에서).
• 관계 보존 자기 동형 사상
• 분수 푸리에 변환

참고 문헌

1. PJ Pahl, R Damrath (2001). 〈§7.5.5 Automorphisms〉. 《Mathematical foundations of computational engineering》 Felix Pahl translation판. Springer. 376쪽. ISBN 3-540-67995-2.
2. Yale, Paul B. (May 1966). “Automorphisms of the Complex Numbers” (PDF). 《Mathematics Magazine》 39 (3): 135–141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301. 2020년 11월 8일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2022년 4월 16일에 확인함.
3. Lounesto, Pertti (2001), 《Clifford Algebras and Spinors》 2판, Cambridge University Press, 22–23쪽, ISBN 0-521-00551-5
4. 《Handbook of algebra》 3, Elsevier, 2003, 453쪽
5. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.
6. 윌리엄 로언 해밀턴 (1856). “Memorandum respecting a new System of Roots of Unity” (PDF). 《Philosophical Magazine》 12: 446.

외부 링크

• “Automorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Algebraic system, automorphism of an”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Automorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Automorphism group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Automorphism”. 《nLab》 (영어).
• “Automorphism group of a group”. 《Groupprops》 (영어).