내부자기동형사상

군론에서 내부자기동형사상(內部自己準同型寫像, 영어: inner automorphism)은 군의 원소를 고정 원소에 대한 켤레 원소에 대응시키는 군 자기동형사상이다.

정의

군의 원소 ${\displaystyle g\in G}$에 대한 내부자기동형사상은 다음과 같다.

${\displaystyle G\to G}$

${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$

군 ${\displaystyle G}$의 내부자기동형군 ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$는 ${\displaystyle G}$ 위 내부자기동형사상이 이루는 군이다. 이는 자기동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$의 정규 부분군이다.

켤레류

군의 서로 켤레 원소 ${\displaystyle x,y\in G}$는 ${\displaystyle gxg^{-1}=y}$인 ${\displaystyle g\in G}$가 존재하는 두 원소이다. 서로 켤레는 군 위의 동치 관계이다.

군의 원소 ${\displaystyle x\in G}$의 켤레류(-類, 영어: conjugacy class) 또는 공액류(共軛類)는 다음과 같은 집합이다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} (x)=\{gxg^{-1}\colon g\in G\}}$

이는 ${\displaystyle G}$ 위의 켤레 관계에 대한 동치류이다. 즉, 군을 분할한다. 또한, 켤레류는 내부자기동형사상이 유도하는 군의 작용의 궤도이다.

성질

내부자기동형군은 자기동형군의 정규 부분군이다.

${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)\trianglelefteq \operatorname {Aut} (G)}$

이에 대한 몫군

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)}$

를 외부자기동형군이라고 한다.

군의 원소를 그에 대한 내부자기동형사상에 대응시키는 군 준동형

${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (G)}$

${\displaystyle g\mapsto g{-}g^{-1}}$

의 상은 내부자기동형군이며, 핵은 군의 중심이다. 따라서 다음 동형이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)\cong G/Z(G)}$

켤레류 방정식

이 군 준동형은 군의 작용으로 볼 때, 그 궤도는 켤레류이며, 안정자군은 중심화 부분군이다. 따라서 다음과 같은 항등식이 성립하며, 이를 켤레류 방정식(영어: class equation)이라고 한다.

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{n}|\!\operatorname {Cl} (x_{i})|}$

즉

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{n}|G:C_{G}(x_{i})|}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Cl} (x_{i})}$는 크기 1 이상의 켤레류들이다.
• ${\displaystyle C_{G}(x_{i})}$는 중심화 진부분군들이다.
• ${\displaystyle Z(G)}$는 중심이다. 중심의 원소일 조건은 켤레류가 한원소 집합일 조건 및 중심화 부분군이 ${\displaystyle G}$일 조건과 동치이다.

참고 문헌

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