유클리드 공간

수학에서 유클리드 공간(영어: Euclidean space)은 유클리드가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다. 이 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이와 각도를 좌표계를 도입하여, 임의 차원의 공간으로 확장한 것이다. 이는 표준적인 유한 차원, 실수, 내적 공간이다.

3차원 유클리드 공간 상의 각 점은 3개의 좌표 축에 결정된다.

경우에 따라서는 민코프스키 공간에 대비되는 말로서, 피타고라스의 정리에 의한 길이소의 제곱의 계수가 모두 양수인 공간을 이야기한다.

정의

음이 아닌 정수 ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$에 대하여, ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$은 집합으로서 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 ${\displaystyle n}$번 곱집합이다.

이 위에 내적

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}}$

를 정의하면, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$은 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이에 따라서 유클리드 공간은 내적 공간, 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간을 이룬다.

또한, 자명한 좌표근방계를 주어 매끄러운 다양체 및 리만 다양체로 만들 수 있다. 이 경우, 리만 계량으로 정의한 거리는 내적으로 정의한 거리와 일치하게 된다.

같이 보기

• 벡터 미적분학