텐서 대수

선형대수학에서 텐서 대수(tensor代數, 영어: tensor algebra)는 어떤 벡터 공간 또는 가군 위의 원소들로부터 생성되는 비가환 다항식들로 구성되는 등급 단위 결합 대수이다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle V}$ 위의 텐서 대수 ${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$는 다음과 같은 ${\displaystyle K}$ 위의 등급 가군이다.

${\displaystyle \operatorname {T} (V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\overbrace {V\otimes _{K}V\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V} ^{n}=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus \cdots }$

${\displaystyle \operatorname {T} ^{n}(V)=\overbrace {V\otimes _{K}V\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V} ^{n}}$

이 위에는 다음과 같은 자연스러운 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

${\displaystyle \otimes \colon \operatorname {T} ^{m}(V)\times \operatorname {T} ^{n}(V)\to \operatorname {T} ^{m+n}(V)}$

${\displaystyle \otimes \colon \left((u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{m}),(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})\right)\mapsto u_{1}\otimes \cdots u_{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\in \operatorname {T} ^{m+n}(V)}$

이는 결합 법칙을 만족시키고, 또 항등원 ${\displaystyle 1_{K}\in K=\operatorname {T} ^{0}(V)}$을 갖는다. 따라서, 텐서 대수는 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

호프 대수 구조

텐서 대수 ${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$ 위에는 다음과 같이 호프 대수의 구조가 존재한다. 여기서 ${\displaystyle \Delta }$는 쌍대곱, ${\displaystyle S}$는 앤티포드이다.

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (p,m-p)}\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (m)}\right)}$

${\displaystyle S(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m})=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (p,m-p)\subseteq \operatorname {Sym} (p)}$는 ${\displaystyle (p,m-p)}$-셔플 순열의 집합이다.

비가환 다항식 대수

집합 ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}$에 의하여 생성되는, 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 자유 단위 결합 대수는 자유 가군 ${\displaystyle K^{\oplus |I|}}$ 위의 텐서 대수와 같으며, 비가환 다항식 대수(영어: noncommutative polynomial algebra)라고 하며, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle K\langle x_{i}\rangle _{i\in I}=\operatorname {T} (K^{\oplus |I|})}$

비가환 다항식 대수의 원소들은 다항식환 (자유 가환 단위 결합 대수) ${\displaystyle K[x_{i}]_{i\in I}}$과 유사하지만, ${\displaystyle i\neq j}$라면 ${\displaystyle x_{i}x_{j}\neq x_{j}x_{i}}$이다.

같이 보기

• 대칭 대수
• 외대수

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.

외부 링크

• “Tensor algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.