군론에서 교환자(交換子, 영어: commutator)는 두 원소 사이의 교환 법칙의 실패를 측정하는 이항 연산이다.
임의의 두 원소 
에 대하여, 
일 필요 충분 조건은 ![{\displaystyle [g,h]=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb14f08d7ba3643a2174fc1b0494554c7ef61e4)
인 것이다. 즉, 임의의 군 
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
항등식
교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.[1]:4 여기서 
는 켤레 원소 
를 나타낸다.
![{\displaystyle x^{y}=x[x,y]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe4013d1700ce7329efa3f45331d5d2151c80f8)
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12cb086f360be80fa790f5c1900aae2685410ef)
![{\displaystyle [xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b842155195e0fe1aa96d5e5b7c48c2dcc7afe1c)
and ![{\displaystyle [x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5838d3b8828b6d6a3acc2dda8acb07e47a66582b)
![{\displaystyle [x,y^{-1}]=[y,x]^{y^{-1}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244315ff297e41b5321e6fea0958663f5cc9ad7a)
and ![{\displaystyle [x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a69ab69ab699becf6e24f460004f5deb0b2fdda)
- (홀-비트 항등식 영어: Hall–Witt identity)
![{\displaystyle [[x,y^{-1}],z]^{y}[[y,z^{-1}],x]^{z}[[z,x^{-1}],y]^{x}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e91d1b7de267c2093dd14e22f0a62782d8abd8)
- (홀-비트 항등식 영어: Hall–Witt identity)
![{\displaystyle [[x,y],z^{x}][[z,x],y^{z}][[y,z],x^{y}]=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2da63db69dc8f2fadab9875b6a7245958fa42e)
홀-비트 항등식은 환론의 교환자의 야코비 항등식과 유사하다.
또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다.
![{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y]\qquad \forall x,y\in G}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67cbb8514046dca1755b87b4cb47368d773b345)
만약 의 교환자 부분군이 중심에 속한다면 (
), 다음이 추가로 성립한다.
![{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}\qquad \forall x,y\in G}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdedcc6161e5d05670720b84fba80a05bc5cfa2)
교환자 부분군
주어진 군 의 원소들 가운데 어떤 교환자로 표현될 수 있는 것들은 일반적으로 부분군을 이루지 않지만, 교환자 부분군이라 불리는 부분군을 생성한다. 즉, 교환자 부분군은 (유한 개의) 교환자들의 곱으로 표현될 수 있는 원소들로 구성된 부분군이다.
![{\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87495055902ee8caee67b2645802bd3192d68c5)
![{\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1961e7629b74db72c10639ec6f71fdf70a4c6163)
![{\displaystyle [g,h]=1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb14f08d7ba3643a2174fc1b0494554c7ef61e4)
![{\displaystyle x^{y}=x[x,y]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe4013d1700ce7329efa3f45331d5d2151c80f8)
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12cb086f360be80fa790f5c1900aae2685410ef)
![{\displaystyle [xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b842155195e0fe1aa96d5e5b7c48c2dcc7afe1c)
![{\displaystyle [x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5838d3b8828b6d6a3acc2dda8acb07e47a66582b)
![{\displaystyle [x,y^{-1}]=[y,x]^{y^{-1}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244315ff297e41b5321e6fea0958663f5cc9ad7a)
![{\displaystyle [x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a69ab69ab699becf6e24f460004f5deb0b2fdda)
![{\displaystyle [[x,y^{-1}],z]^{y}[[y,z^{-1}],x]^{z}[[z,x^{-1}],y]^{x}=1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e91d1b7de267c2093dd14e22f0a62782d8abd8)
![{\displaystyle [[x,y],z^{x}][[z,x],y^{z}][[y,z],x^{y}]=1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2da63db69dc8f2fadab9875b6a7245958fa42e)
![{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y]\qquad \forall x,y\in G}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67cbb8514046dca1755b87b4cb47368d773b345)
![{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}\qquad \forall x,y\in G}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdedcc6161e5d05670720b84fba80a05bc5cfa2)
