갈릴레이 군

물리학과 수학에서 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.

정의

${\displaystyle n}$차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 갈릴레이 변환(Galilei變換, 영어: Galilean transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다.

${\displaystyle (t,\mathbf {x} )\mapsto (t+s,t\mathbf {v} +R\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\;(s\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))}$

이들은 함수의 합성 아래 ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$차원 리 군을 이루며, 이를 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group) ${\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)}$이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\mathbb {R} ^{n+1}\rtimes \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}$은 유클리드 군이다. ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}$는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&\mathbf {v} \\\mathbf {0} &R\end{pmatrix}}\colon \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},\;R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\right\}}$

그렇다면, 반직접곱에서 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}$의 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ 위의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n+1})=\operatorname {GL} (\mathbb {R} ^{n+1})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon (t,\mathbf {x} )\mapsto {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t\end{pmatrix}}}$

갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon R\in \operatorname {SO} (n),\;\mathbf {v} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},\;s\in \mathbb {R} \right\}}$

이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon {\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\t+s\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t+\mathbf {y} \end{pmatrix}}}$

갈릴레이 대수

갈릴레이 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)}$의 리 대수를 갈릴레이 대수(Galilei代數, 영어: Galilean algebra) ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(n+1)}$이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.

생성원	기호	단위
시간 변화	${\displaystyle H}$	[시간]−1
공간 병진 이동	${\displaystyle P_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)	[길이]−1
공간 회전	${\displaystyle J_{ij}}$ (${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$, ${\displaystyle J_{ij}=-J_{ji}}$)	1
갈릴레이 변환	${\displaystyle C_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)	[시간] [길이]−1

그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 ${\displaystyle i}$가 곱해져 있다.)

${\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=[C_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}$

${\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}$

성질

갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.^{[1]:191, §Ⅳ.7}

${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {gal}}(3+1))=1}$

이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 ${\displaystyle M}$을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.

${\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}$

${\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=iM\delta _{ij}}$

따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.

표현론

3+1차원 갈릴레이 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(3+1)}$의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.

우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다.

• 중심 전하 ${\displaystyle M}$. 이는 질량에 해당한다.
• 질량껍질 불변량 ${\displaystyle ME-P^{2}/2}$. 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다.
• ${\displaystyle W_{ij}=MJ_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}}$
• ${\displaystyle W_{ijk}=P_{i}J_{jk}+P_{j}J_{ki}+P_{k}J_{ij}}$

${\displaystyle W_{ij}}$ 및 ${\displaystyle W_{ijk}}$는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다.

슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각

• ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle mE_{0}}$
• ${\displaystyle w_{ij}}$
• ${\displaystyle w_{ijk}}$

라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, ${\displaystyle m}$은 실수이다. 물리학적으로 ${\displaystyle E_{0}\geq 0}$이어야만 한다.

유질량 표현

${\displaystyle m\neq 0}$인 경우를 생각하자. ${\displaystyle (E,\mathbf {P} )}$ 공간 위에 질량껍질 제약 ${\displaystyle mE=mE_{0}+P^{2}/2}$을 가한 초곡면을 질량껍질이라고 하며, 갈릴레이 변환 ${\displaystyle C_{i}}$는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다.

유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, ${\displaystyle C_{i}}$의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 ${\displaystyle J_{ij}}$에 의해 생성되는 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$이다 (${\displaystyle n\geq 3}$). ${\displaystyle n=3}$인 경우, 3차원 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)=\operatorname {SU} (2)}$의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 ${\displaystyle s\in \{0,1/2,1,3/2,\dots \}}$에 의하여 완전히 분류된다. 즉, ${\displaystyle m\neq 0}$인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$의 유니터리 표현 ${\displaystyle s}$ 및 질량 ${\displaystyle m}$, 정지 에너지 ${\displaystyle E_{0}}$에 의하여 분류된다.

무질량 표현

${\displaystyle m=0}$인 경우, 유니터리 표현이므로 ${\displaystyle mE-\mathbf {p} ^{2}/2=-\mathbf {p} ^{2}/2\leq 0}$이다. 유도 표현 방법에 따르면, ${\displaystyle (E,\mathbf {P} )}$ 공간에서의 안정자군을 고려해야 한다.

• ${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=0}$인 경우: 이 경우 안정자군은 ${\displaystyle J_{ij}}$와 ${\displaystyle C_{i}}$에 의하여 생성되는 유클리드 군 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n)\cong \mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}$이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
• ${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}>0}$인 경우: 이 경우 안정자군은 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)}$이며, 이는 ${\displaystyle \mathbf {p} }$에 대하여 수직인 방향의 ${\displaystyle C_{i}}$ 및 ${\displaystyle P_{i}}$에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)}$의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용(영어: action at a distance)을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군의 타키온 표현과 유사하다.

예

1차원 갈릴레이 군

0+1차원 갈릴레이 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(1)}$은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (1)}$은 1차원 아벨 리 군 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이다.

2차원 갈릴레이 군

1+1차원 갈릴레이 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(1+1)}$은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )}$와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저

${\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )=\operatorname {Span} \{x,p,\hbar \}}$

${\displaystyle [x,p]=i\hbar }$

${\displaystyle [x,\hbar ]=[p,\hbar ]=0}$

가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle C\mapsto x}$

${\displaystyle H\mapsto p}$

${\displaystyle P\mapsto \hbar }$

이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다.

마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)

응용

갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.

실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(영어: Wigner–İnönü contraction)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.

역사

갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.^{[2]:191–196} 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.