푸앵카레 군(Poincaré群, Poincaré group)은 민코프스키 공간의 대칭군이다. 공간 회전 3방향과 로런츠 변환 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방향으로 총 10차원의 리 군을 이룬다. 앙리 푸앵카레의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 "inhomogeneous special orthogonal group"의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 
를 추가한 군이다.
d 차원 푸앵카레 군은 병진 변환의 아벨 군 
과 로런츠 군 
의 반직접곱이다. 즉,
이다. 이때 사용되는 작용은 
의 행렬로서의 자연스런 작용이다. 즉, 
의 
에 대한 작용은
이며, 
는 행렬로서의 곱셈이다.
d차원 민코프스키 공간에서의 푸앵카레 군의 차원은
이다. 특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 리 군을 이룬다.
푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 
은 사차원 벡터 
에 다음과 같이 작용한다.
.
여기서 
는 임의의 로런츠 변환이고, 
는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 푸앵카레 대칭성을 지닌다고 한다.
푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적
을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(Euclidean group, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.
푸앵카레 변환 가운데 
인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군을 로런츠 군(Lorentz group, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 로런츠 대칭성(Lorentz symmetry)이라고 한다.
앞의 변환 
의 연산자를 
라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.
=(\Lambda ,a)[(M,b)(N,c)]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac2c6f0813b263ad1f95d51f3620f906dbeed15)
푸앵카레 군의 군 표현론은 위그너 분류라고 불린다.
리 대수
푸앵카레 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.
이것은 등각 대칭이다.
![{\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737e9f4f0edf9b8e72332c929615b7b632af6702)
![{\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i\left(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc611df2b0ed49f0cab4f50ce33d98e8841369f3)
![{\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i\left(\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29da9384ea5f841b30e74e450a3044e9e588d1d2)
헤르만 민코프스키가 1908년에 도입하였다.[1][2] 앙리 푸앵카레는 사실 푸앵카레 군에 대해 논하지 않았으나, 푸앵카레는 1905년에 로런츠 군이 군을 이룬다는 사실을 보였고,[3] 푸앵카레의 이름을 따 명명되었다.
=(\Lambda ,a)[(M,b)(N,c)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac2c6f0813b263ad1f95d51f3620f906dbeed15)
![{\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737e9f4f0edf9b8e72332c929615b7b632af6702)
![{\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i\left(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc611df2b0ed49f0cab4f50ce33d98e8841369f3)
![{\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i\left(\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29da9384ea5f841b30e74e450a3044e9e588d1d2)
