행렬의 닮음

선형대수학에서, 행렬의 닮음(영어: similarity) 또는 상사(相似)는 두 행렬이 같은 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다. 행렬의 동치보다 더 강한 조건의 관계이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A,B\in \operatorname {Mat} (n;K)}$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 ${\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;K)}$가 존재한다면, ${\displaystyle A,B}$가 서로 닮음이라고 한다.

${\displaystyle P^{-1}AP=B}$

여기서 ${\displaystyle (-)^{-1}}$는 역행렬이다. 행렬의 닮음은 동치 관계를 이룬다. 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 가역 행렬들이 이루는 군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}$에서 닮음에 대한 동치류는 켤레류와 일치한다.

성질

닮음 불변량

서로 닮음인 행렬의 다음과 같은 성질들은 서로 일치한다. 이러한 성질을 닮음 불변량(-不變量, similarity invariant)이라고 한다.^[1]

• 계수
• 행렬식
• 가역성
• 대각합
• 고윳값 및 그 대수적 중복도와 기하적 중복도
• 핵의 차원
• 고유 다항식
• 최소 다항식

같이 보기

• 대각화 가능 행렬
• 선형 변환의 행렬
• 조르당 표준형

각주

1. Howard Anton, 이장우 역, 《알기쉬운 선형대수》, 범한서적주식회사, 2007, 512-513쪽.