在科學和數學 中，狄拉克δ 或簡稱δ 德爾塔函數 、得耳他函數 ）是在實數線上定義的一個廣義函數 或分佈 。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分 等於1。[ 2] δ 質點 或點電荷 的密度。
狄拉克δ δ 狄拉克δ 正態分佈
δ
a
(
x
)
=
1
a
π
e
−
x
2
/
a
2
{\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/a^{2}}}
a
→
0
{\displaystyle a\rightarrow 0}
分佈 意義上的）極限 。 從純數學的觀點來看，狄拉克δ 函數 ，因為任何在擴展實數線 上定義的函數，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。δ δ
狄拉克δ 物理學家 保羅·狄拉克 ，其形式上所遵守的規則屬於運算微積分 δ 洛朗·施瓦茨 才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。嚴謹地來說，δ 支撐集 為原點的機率測度 。
在許多應用中，均將δ 序列 的極限（弱極限 δ 訊號處理 上，δ 單位脈衝符號 或單位脈衝函數 。克羅內克δ 是對應於狄拉克δ
δ 函數的圖形 通常可以視為整條x 軸和正y 軸。雖然稱為函數，但δ 函數並非真正的函數，至少它的值域不在實數 以內。例如，f (x ) = δ (x )g (x ) = 0數學物件 除了在x = 0勒貝格積分 理論，若f 和g 為函數，使得f = g 幾乎處處 成立，則f 可積當且僅當 g 可積且f 和g 的積分相同。要嚴謹處理δ 函數，須用到測度論 或分佈。
δ 函數可以代表一個既高又窄的尖峰函數（脈衝），用以描述點電荷 和質點 等抽象化 的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學 問題，可以用δ 函數描述擊球那一刻的力 。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿遞移的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球遞移能量的複雜具體情況。
在應用數學中，δ 函數往往能看作是某函數序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差 趨向零的高斯分佈 序列。
約瑟夫·傅利葉 在他的《熱分析理論》（法語：Théorie analytique de la chaleur
f
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
d
α
f
(
α
)
∫
−
∞
∞
d
p
cos
(
p
x
−
p
α
)
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}
這相當於以這種方式引入了δ 函數：
δ
(
x
−
α
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
d
p
cos
(
p
x
−
p
α
)
.
{\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}
之後，奧古斯丁·路易·柯西 用指數函數表達了這一定理：
f
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
e
i
p
x
(
∫
−
∞
∞
e
−
i
p
α
f
(
α
)
d
α
)
d
p
.
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp.}
柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。[ a]
分佈理論 允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅里葉的方程式：
f
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
e
i
p
x
(
∫
−
∞
∞
e
−
i
p
α
f
(
α
)
d
α
)
d
p
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
(
∫
−
∞
∞
e
i
p
x
e
−
i
p
α
d
p
)
f
(
α
)
d
α
=
∫
−
∞
∞
δ
(
x
−
α
)
f
(
α
)
d
α
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\ dp\right)f(\alpha )\ d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\ d\alpha ,\end{aligned}}}
其中δ 函數可表達為：
δ
(
x
−
α
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
e
i
p
(
x
−
α
)
d
p
.
{\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\ dp\ .}
在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函數f 所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：
經典傅里葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函數。這些函數必須（在無限的鄰域 內）足夠快地降至零，才能保證傅里葉積分值的存在。例如，連多項式 這種如此簡單的函數，也不存在經典意義上的傅里葉變換。經典傅里葉變換擴展至分佈，大大增加了能夠進行變換的函數類型，移除了諸多障礙。 之後，米歇爾·普朗歇爾 （Michel Plancherel）開創性的L 2 理論（1910年）、諾伯特·維納 和薩洛蒙·博赫納 洛朗·施瓦茨 歸納這一切的分佈理論（1945年）進一步推廣了傅里葉積分，並建立了狄拉克δ 函數的嚴格定義。
1827年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函數（柯西分佈 的無限小 版本）。西莫恩·德尼·帕松 和古斯塔夫·基爾霍夫 之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函數。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲 將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵 對點熱源的描述。19世紀末，奧利弗·黑維塞 利用形式上的傅里葉級數 對單位脈衝進行操作。[ b] 保羅·狄拉克 在影響深遠的《量子力學原理》中引入了δ 函數作為一種「方便的記號」，故此該函數今天以他命名。
籠統地來說，δ 函數是在實數線上的一個函數，在原點上無限，在所有其他點上為零，
δ
(
x
)
=
{
+
∞
,
x
=
0
0
,
x
≠
0
{\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}
並同時滿足以下條件
∫
−
∞
∞
δ
(
x
)
d
x
=
1.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}
[ 19] 這只是一個概略的表述：δ 函數並不是一個嚴格意義上的函數，沒有任何定義在實數線上的函數能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，δ 函數可以定義為分佈 或測度 。
測度 是其中一種嚴謹定義δ 函數的方法。作為一個測度，δ 函數取一個實線R 的子集A ，當0 ∈ A 時輸出δ (A ) = 1δ (A ) = 0δ 函數想像成位於0的一個理想化的質點，則δ (A )代表集合A 所包含的質量。一個函數相對於δ 的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分 。對於所有連續緊支撐函數f ，這一積分滿足：
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
δ
{
d
x
}
=
f
(
0
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0).}
測度δ 相對於勒貝格測度 不絕對連續 ，它其實是一個奇異測度 拉東-尼科迪姆導數 ，也就是不存在滿足以下條件的函數δ ：
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
δ
(
x
)
d
x
=
f
(
0
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0).}
雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼 或勒貝格 ）積分。
作為R 上的機率測度 ，狄拉克測度可以通過它的累積分佈函數 ──單位階躍函數 ──來定義：[ c]
H
(
x
)
=
{
1
if
x
≥
0
0
if
x
<
0.
{\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}
換句話說，H (x )是積累指示函數 1 (−∞, x ] δ 的積分：
H
(
x
)
=
∫
R
1
(
−
∞
,
x
]
(
t
)
δ
{
d
t
}
=
δ
(
−
∞
,
x
]
.
{\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x].}
δ 函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分 嚴格定義：
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
δ
{
d
x
}
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
H
(
x
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}
δ 函數的所有更高矩 都是零。其特徵函數 和矩母函數 都等於1。
在分佈理論 中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿着這條思路，只須定義δ 函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果δ 函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這δ 測度的勒貝格積分。
測試函數空間一般可包括所有
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
緊支撐 光滑函數 。作為一個分佈，δ 函數是在測試函數空間上的線性泛函 ，定義為
∀
φ
,
δ
[
φ
]
=
φ
(
0
)
.
{\displaystyle \forall \varphi ,\delta [\varphi ]=\varphi (0).}
1
若要使δ 成為一個正式的分佈，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲 為連續的。在測試函數空間上的線性泛函
S
{\displaystyle S}
N
{\displaystyle N}
M
N
{\displaystyle M_{N}}
C
N
{\displaystyle C_{N}}
φ
{\displaystyle \varphi }
[ 24]
|
S
[
φ
]
|
≤
C
N
∑
k
=
0
M
N
sup
x
∈
[
−
N
,
N
]
|
φ
(
k
)
(
x
)
|
.
{\displaystyle |S[\varphi ]|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}|\varphi ^{(k)}(x)|.}
當
S
{\displaystyle S}
δ 分佈時，對所有的
N
{\displaystyle N}
C
N
=
1
,
M
N
=
0
{\displaystyle C_{N}=1,M_{N}=0}
δ 是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集 是
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
δ分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數 的分佈導數，也就是說，對於任何測試函數
φ
{\displaystyle \varphi }
δ
[
φ
]
=
−
∫
−
∞
∞
φ
′
(
x
)
H
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x.}
直觀而言，如果允許分部積分法 ，以上的積分就會簡化為
∫
−
∞
∞
φ
(
x
)
H
′
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
φ
(
x
)
δ
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x)\,\mathrm {d} x.}
而利用黎曼－斯蒂爾傑斯積分 的分部積分法可以得到
−
∫
−
∞
∞
φ
′
(
x
)
H
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
φ
(
x
)
d
H
(
x
)
.
{\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} H(x).}
在測度論中，狄拉克測度通過積分產生分佈。相反，公式(1
φ
{\displaystyle \varphi }
Daniell積分 里斯表示定理 ，該積分可以表示為
φ
{\displaystyle \varphi }
拉東測度 的勒貝格積分 。
當講到「狄拉克δ 函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克δ 分佈」。測度論中相對應的概念則稱為狄拉克測度
在n 維歐幾里得空間 R n δ 函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數f ，滿足
∫
R
n
f
(
x
)
δ
{
d
x
}
=
f
(
0
)
.
{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} ).}
作為一個測度，n 維δ 函數是每個獨立變量的1維δ 函數的積測度 。也就是說，若x = (x 1 , x 2 , ..., x n
δ
(
x
)
=
δ
(
x
1
)
δ
(
x
2
)
⋯
δ
(
x
n
)
.
{\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}
2
上文的1維δ 分佈也存在n 維推廣。[ 25] 2 [ 27]
狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設X 是集合，x 0 ∈ X X 子集上的任何σ-代數 ，則對每個集合A ∈ Σ
δ
x
0
(
A
)
=
{
1
if
x
0
∈
A
0
if
x
0
∉
A
{\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}
這就是單位質量集中在x 0 處的狄拉克測度。
δ 函數也可以推廣至微分流形 ，由於具有微分結構 ，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形M 上以x 0 ∈ M δ 函數可定義為以下分佈：
δ
x
0
[
φ
]
=
φ
(
x
0
)
{\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}
3
對於所有M 上的緊支撐光滑實數值函數φ 。一個常見的特殊情況是，M 是歐幾里得空間R n 開集 。
在局部緊 郝斯多夫空間 X 中，集中在點x 的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數φ 的Daniell積分(3 拉東測度 。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射
x
0
↦
δ
x
0
{\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}
X 嵌入 到包含所有在X 上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，X 在這一嵌入下的值域的凸包 ，在在X 上的機率測度空間中是一個稠密集 。
對非零純量
α
{\displaystyle \alpha }
δ 函數有以下縮放性質：
∫
−
∞
∞
δ
(
α
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
δ
(
u
)
d
u
|
α
|
=
1
|
α
|
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {\mathrm {d} u}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}
所以
δ
(
α
x
)
=
δ
(
x
)
|
α
|
.
{\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}
4
δ 函數是一個偶分佈 ，也就是說
δ
(
−
x
)
=
δ
(
x
)
.
{\displaystyle \delta (-x)=\delta (x).}
因此δ 函數屬於−1階齊次函數 。
δ 分佈在
n
{\displaystyle n}
δ
(
α
x
)
=
|
α
|
−
n
δ
(
x
)
{\displaystyle \delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )}
從而δ 是一個
n
{\displaystyle n}
齊次分佈 。δ 分佈在任何鏡射 和旋轉
ρ
{\displaystyle \rho }
δ
(
ρ
x
)
=
δ
(
x
)
.
{\displaystyle \delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} ).}
和單變量時一樣，可以唯一地定義δ 與雙利普希茨函數
g
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}
∫
R
n
δ
(
g
(
x
)
)
f
(
g
(
x
)
)
|
det
g
′
(
x
)
|
d
x
=
∫
g
(
R
n
)
δ
(
u
)
f
(
u
)
d
u
{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\,|\det g'(\mathbf {x} )|\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g(\mathbf {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,\mathrm {d} \mathbf {u} }
對於所有緊支撐函數
f
{\displaystyle f}
利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義δ 函數與從一個歐幾里得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流 。在連續可微函數
g
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}
g
{\displaystyle g}
梯度 處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：[ 34]
∫
R
n
f
(
x
)
δ
(
g
(
x
)
)
d
x
=
∫
g
−
1
(
0
)
f
(
x
)
|
∇
g
|
d
σ
(
x
)
{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {x} )}
其中右邊的積分範圍是
g
−
1
(
0
)
{\displaystyle g^{-1}(0)}
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle g(\mathbf {x} )=0}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
更一般地來說，若
S
{\displaystyle S}
R
n
{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
超曲面 ，則可以把
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
g
{\displaystyle g}
δ
S
[
g
]
=
∫
S
g
(
s
)
d
σ
(
s
)
{\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} )}
其中
σ
{\displaystyle \sigma }
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
位勢論 相關。設
D
{\displaystyle D}
R
n
{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
S
{\displaystyle S}
區域 ，則
δ
S
{\displaystyle \delta _{S}}
D
{\displaystyle D}
指示函數 的（分佈意義上的）法向導數 ：
−
∫
R
n
g
(
x
)
∂
1
D
(
x
)
∂
n
d
x
=
∫
S
g
(
s
)
d
σ
(
s
)
,
{\displaystyle -\int _{\mathbf {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\;\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} ),}
其中
n
{\displaystyle n}
法線 。[ 36]
δ 函數屬於緩增函數，所以擁有良好定義的傅里葉變換 。正式地說，（在一些傅里葉變換慣例下）有
δ
^
(
ξ
)
=
∫
−
∞
∞
e
−
2
π
i
x
ξ
δ
(
x
)
d
x
=
1.
{\displaystyle {\hat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\delta (x)\,dx=1.}
一個分佈的傅里葉變換的定義是，在緩增分佈與速降函數 的對偶配對
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
自伴 的。從而，
δ
^
{\displaystyle {\hat {\delta }}}
⟨
δ
^
,
φ
⟩
=
⟨
δ
,
φ
^
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\hat {\varphi }}\rangle }
對於一切速降函數φ 。從此可推導，的確
δ
^
=
1
{\displaystyle {\hat {\delta }}=1}
這條恆等式意味着，δ 函數與任何其他緩增分佈S 的卷積 即等於S ：
S
∗
δ
=
S
.
{\displaystyle S*\delta =S.}
這意味着，δ 是緩增分佈上的卷積的單位元素 。而且，在卷積下的緊支撐分佈空間是一個以δ 函數為單位元素的結合代數 。這在訊號處理 應用中尤其重要，因為與緩增分佈的卷積屬於線性非時變系統 ，而基於δ 函數的線性非時變系統可以測量該緩增分佈的脈衝響應 。只要對δ 作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特徵。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和卷積 。
緩增函數f (ξ ) = 1的反傅里葉變換等於δ 函數。更正式地表達，
∫
−
∞
∞
1
⋅
e
2
π
i
x
ξ
d
ξ
=
δ
(
x
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x).}
更嚴謹地來說，有
⟨
1
,
f
∨
⟩
=
f
(
0
)
=
⟨
δ
,
f
⟩
{\displaystyle \langle 1,f^{\vee }\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }
對於一切速降函數f 。
這樣，δ 函數暗示著在R 上的傅里葉核的正交性，即：
∫
−
∞
∞
e
i
2
π
ξ
1
t
[
e
i
2
π
ξ
2
t
]
∗
d
t
=
∫
−
∞
∞
e
−
i
2
π
(
ξ
2
−
ξ
1
)
t
d
t
=
δ
(
ξ
2
−
ξ
1
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}
換句話說，緩增分佈
f
(
t
)
=
e
i
2
π
ξ
1
t
{\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}
的傅里葉變換是
f
^
(
ξ
2
)
=
δ
(
ξ
1
−
ξ
2
)
.
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).}
這同樣可以通過對傅里葉變換要求自伴性而得出。
利用傅里葉變換的解析延拓 ，可以得出δ 函數的拉普拉斯變換 ：
∫
0
∞
δ
(
t
−
a
)
e
−
s
t
d
t
=
e
−
s
a
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}
狄拉克δ 分佈的分佈導數是一個分佈δ ′，它對於所有緊支撐光滑測試函數φ 定義為[ 38]
δ
′
[
φ
]
=
−
δ
[
φ
′
]
=
−
φ
′
(
0
)
.
{\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}
此處第一個等號類似於分部積分，因為若δ 是個真正的函數，則
∫
−
∞
∞
δ
′
(
x
)
φ
(
x
)
d
x
=
−
∫
−
∞
∞
δ
(
x
)
φ
′
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.}
δ 的k 階導數的定義大同小異，對任何測試函數φ ，
δ
(
k
)
[
φ
]
=
(
−
1
)
k
φ
(
k
)
(
0
)
.
{\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}
從而δ 是個無限可微分佈。
δ 函數的一階微分是差商
δ
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
δ
(
x
+
h
)
−
δ
(
x
)
h
{\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}}
的分佈極限。[ 39]
δ
′
=
lim
h
→
0
1
h
(
τ
h
δ
−
δ
)
{\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}
其中τh τ h φ (x ) = φ (x + h )S 的定義是
(
τ
h
S
)
[
φ
]
=
S
[
τ
−
h
φ
]
.
{\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}
在電磁學 中，δ 函數的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極 ，因此也稱為「偶極」或偶函數 。
δ 函數的導數滿足一些基本性質，包括：
d
d
x
δ
(
−
x
)
=
d
d
x
δ
(
x
)
δ
′
(
−
x
)
=
−
δ
′
(
x
)
x
δ
′
(
x
)
=
−
δ
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\delta (-x)={\frac {d}{dx}}\delta (x)\\[8pt]&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\[8pt]&x\delta '(x)=-\delta (x).\end{aligned}}}
這些性質都可以通過對測試函數積分，並運用分部積分法推導而出。
另外，δ ′與緊支撐光滑測試函數f 的卷積為
δ
′
∗
f
=
δ
∗
f
′
=
f
′
,
{\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}
這來自卷積的分佈導數的性質。
更一般地說，在n 維歐幾里得空間 R n 開集 U 上，以點a ∈ U δ 分佈定義為[ 41]
δ
a
[
φ
]
=
φ
(
a
)
{\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}
對於一切φ ∈ S (U )S (U )是所有U 上的緊支撐光滑函數的空間。若α = (α 1 , ..., α n 多重指標 ，而∂α 偏導數 算子，則δ a α 階導數∂α δ a [ 41]
⟨
∂
α
δ
a
,
φ
⟩
=
(
−
1
)
|
α
|
⟨
δ
a
,
∂
α
φ
⟩
=
(
−
1
)
|
α
|
∂
α
φ
(
x
)
|
x
=
a
{\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =\left.(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x)\right|_{x=a}}
對於一切φ ∈ S (U )δ a α 階導數是個分佈，它在任何測試函數φ 的值等於φ 在點a 的α 階導數（加上合適的正負號）。
δ 函數的一階偏導數可以視為沿着坐標平面的雙層 。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數 是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。δ 函數的更高階導數，在物理學裏稱為多極 。
高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若S 是任何在U 上、支撐集為一個點{a }的分佈，那麼存在整數m 和一組系數c α ，使得[ 41]
S
=
∑
|
α
|
≤
m
c
α
∂
α
δ
a
.
{\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}
δ 函數可以視為一個函數序列的極限：
δ
(
x
)
=
lim
ε
→
0
+
η
ε
(
x
)
,
{\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),\,}
其中ηε (x )有時稱為初生δ 函數 連續函數 f ，有
lim
ε
→
0
+
∫
−
∞
∞
η
ε
(
x
)
f
(
x
)
d
x
=
f
(
0
)
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)\ }
5
或者，這個極限對於一切緊支撐光滑函數 f 都存在。這兩種不同的弱收斂模式往往有十分微妙的差異，前者是依測度的淡拓撲收斂，而後者則是分佈 的收斂。
通常一個初生δ 函數ηε 可以如下建構。設η 是一個R 上的總積分為1的絕對可積函數，並定義
η
ε
(
x
)
=
ε
−
1
η
(
x
ε
)
.
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}
在n 維當中，改用以下縮放
η
ε
(
x
)
=
ε
−
n
η
(
x
ε
)
.
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}
在簡單的變量更換之後，可見ηε 的積分同樣等於1。不難證明，(5 f 都成立，從而ηε 作為一個測度向δ 弱收斂。
這樣建構的ηε 叫做對單位元素的近似 ，因為包含所有絕對可積函數的空間L 1 (R )在函數卷積 這一作用下閉合：f ∗ g ∈ L 1 (R )f 和g 都屬於L 1 (R )。然而，L 1 (R )在卷積下並沒有單位元素：沒有任何元素h 使得f ∗ h = f f 都成立。但序列ηε 仍然能夠近似這種單位元素，就是說
f
∗
η
ε
→
f
a
s
ε
→
0.
{\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\rm {{as\ }\varepsilon \to 0.}}}
在平均收斂 （即L 1 中的收斂）下，此極限存在。要確保幾乎處處 點收斂，還需要對ηε 加上更多的前提，比如它必須是對應於一個緊支撐函數的柔化函數 。
如果最初的η = η 1 脈衝函數 η 來定義，例如
η
(
x
)
=
{
e
−
1
1
−
|
x
|
2
if
|
x
|
<
1
0
if
|
x
|
≥
1.
{\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}
在數值分析 等的一些情況下，以分段線性函數 對單位元素進行近似會更加有用。可以定義η 1 是一個三角形函數 ，然後有
η
ε
(
x
)
=
ε
−
1
max
(
1
−
|
x
ε
|
,
0
)
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}
它們全部都是連續的且具有緊支撐，但不是光滑的，從而也不是柔化函數。
在機率論 中，很自然地會加入一項額外條件，亦即要求對單位元素近似的初始η 1 是正的，因為這樣它就會代表一個機率分佈 。有時需要和機率分佈 來卷積的原因是，輸出值是輸入值的凸組合 ，因此處於最高與最低輸入值之間，從而能夠避免過衝 或下衝。取η 1 為任何隨意的機率分佈，並如上設ηε (x ) = η 1 (x /ε )/ε η 的平均值為0，且更高矩 較小，那麼序列就會向δ 函數收斂得更快。比如，設η 1 是[−1/2, 1/2] 上的均勻分佈 ，即矩形函數 ，則：[ 45]
η
ε
(
x
)
=
1
ε
rect
(
x
ε
)
=
{
1
ε
,
−
ε
2
<
x
<
ε
2
0
,
otherwise
.
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\ {\textrm {rect}}\left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
又以維格納半圓分佈 舉例，
η
ε
(
x
)
=
{
2
π
ε
2
ε
2
−
x
2
,
−
ε
<
x
<
ε
0
,
otherwise
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon \\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
這是連續的，且具有緊支撐，但因為不是光滑的，所以也不是柔化函數。
初生δ 函數往往以卷積半群 的身份出現。這相等於另加一個條件──ηε 與ηδ 的卷積必須滿足
η
ε
∗
η
δ
=
η
ε
+
δ
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}
對於所有ε 和δ > 0L 1 中形成初生δ 函數的卷積半群一定是對單位元素的近似（用上式的意思），但半群設下了限制性頗強的條件。
在實踐當中，對單位元素的半群近似出現在物理學所啟發的橢圓型 和拋物型偏微分方程式 中，作為基本解或格林函數 。在應用數學 中，半群是線性非時變系統 的輸出。抽象地來說，若A 是一個作用在x 的函數上的線性算子，則在對初值問題 求解時會出現卷積半群：
{
∂
∂
t
η
(
t
,
x
)
=
A
η
(
t
,
x
)
,
t
>
0
lim
t
→
0
+
η
(
t
,
x
)
=
δ
(
x
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}
其中極限同樣是弱極限。設ηε (x ) = η (ε , x )δ 函數。
下面將列出若干有物理意義的、在此類基本解中所出現的卷積半群。
熱核 熱核 ，定義是
η
ε
(
x
)
=
1
2
π
ε
e
−
x
2
2
ε
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}
代表的是一條無限長絲在t > 0時的溫度，如果在t = 0時在原點處儲藏了一個單位的熱能。此半群依照一維熱傳導方程式 演變：
∂
u
∂
t
=
1
2
∂
2
u
∂
x
2
.
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}
在機率論中，ηε (x )是一個平均值為0、方差 為ε 的正態分佈 。它代表了一個粒子從原點開始，作標準布朗運動 ，在t = ε 機率密度函數 。在這種情況下，半群條件也就體現了布朗運動的馬可夫性質 。
在高維歐幾里得空間R n
η
ε
=
1
(
2
π
ε
)
n
/
2
e
−
x
⋅
x
2
ε
,
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}
並且在作必要的修改後有着相同的物理解釋。而且，當ε → 0ηε → δ δ 函數。
帕松核 帕松核
η
ε
(
x
)
=
1
π
ε
ε
2
+
x
2
=
∫
−
∞
∞
e
2
π
i
ξ
x
−
|
ε
ξ
|
d
ξ
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\;d\xi }
是拉普拉斯方程式 在上半平面中的基本解。它代表了一個半無限平板在邊緣的電勢 固定為δ 函數時的電勢 。帕松核也和柯西分佈 有緊密的聯繫。半群根據以下方程式演變：
∂
u
∂
t
=
−
(
−
∂
2
∂
x
2
)
1
2
u
(
t
,
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}
其中的算子嚴謹地定義為傅里葉乘數
F
[
(
−
∂
2
∂
x
2
)
1
2
f
]
(
ξ
)
=
|
2
π
ξ
|
F
f
(
ξ
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}
在波 動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程式 ，而這些方程式有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題 的基本解所產生的初生δ 函數，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速 氣體動力學 的歐拉-特里科米方程式 艾里函數
ε
−
1
3
Ai
(
x
ε
−
1
3
)
.
{\displaystyle \varepsilon ^{-{\frac {1}{3}}}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-{\frac {1}{3}}}\right).}
雖然用的是傅里葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生δ 函數，只能從分佈意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核 ），而不能從測度意義上收斂。
另一個例子是R 1+1 中的波動方程式 的柯西問題：[ 48]
c
−
2
∂
2
u
∂
t
2
−
Δ
u
=
0
u
=
0
,
∂
u
∂
t
=
δ
for
t
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}
解u 代表了一條具有無限彈性 的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。
其他同類的對單位元素的近似還包括，廣泛應用於電子和電訊中的sinc函數
η
ε
(
x
)
=
1
π
x
sin
(
x
ε
)
=
1
2
π
∫
−
1
ε
1
ε
cos
(
k
x
)
d
k
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\;dk}
以及貝塞爾函數
η
ε
(
x
)
=
1
ε
J
1
ε
(
x
+
1
ε
)
.
{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}
要對線性偏微分方程式
L
[
u
]
=
f
{\displaystyle L[u]=f}
求解，其中L 是R n 微分算子 ，可以先取得基本解，即對以下方程式求解：
L
[
u
]
=
δ
.
{\displaystyle L[u]=\delta .}
當L 相對簡單的時候，通常直接利用傅里葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果算子比較複雜，可以先考慮更簡單的方程式
L
[
u
]
=
h
{\displaystyle L[u]=h}
其中h 是一個平面波 函數，意思是對於某向量ξ，有
h
=
h
(
x
⋅
ξ
)
{\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}
這樣的方程式可以用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理 L 的系數是解析函數 ），或者用求積法求解（如果L 的系數是常數）。所以，如果δ 函數能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程式的解。
對δ 函數進行平面波分解的方法，最早是約翰·拉東 （Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲·約翰 進一步發展至這種形式（1955 ）。[ d] k ，使得n + k s ，定義
g
(
s
)
=
Re
[
−
s
k
log
(
−
i
s
)
k
!
(
2
π
i
)
n
]
=
{
|
s
|
k
4
k
!
(
2
π
i
)
n
−
1
n
odd
−
|
s
|
k
log
|
s
|
k
!
(
2
π
i
)
n
n
even.
{\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\&\\-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}
要取得δ ，對g (x · ξ )拉普拉斯算子 的冪，其中ξ 屬於單位球面 S n −1
δ
(
x
)
=
Δ
x
n
+
k
2
∫
S
n
−
1
g
(
x
⋅
ξ
)
d
ω
ξ
.
{\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}
此處的拉普拉斯算子理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函數φ ，
φ
(
x
)
=
∫
R
n
φ
(
y
)
d
y
Δ
x
n
+
k
2
∫
S
n
−
1
g
(
(
x
−
y
)
⋅
ξ
)
d
ω
ξ
.
{\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}
這一結果來自牛頓位勢 公式（牛頓位勢是帕松方程式的基本解）。這實際上是拉東變換 的逆轉公式，因為它能夠從φ (x )在超曲面上的積分取回φ (x )的值。例如，若n 是奇數，而k = 1
c
n
Δ
x
n
+
1
2
∫
∫
S
n
−
1
φ
(
y
)
|
(
y
−
x
)
⋅
ξ
|
d
ω
ξ
d
y
=
c
n
Δ
x
n
+
1
2
∫
S
n
−
1
d
ω
ξ
∫
−
∞
∞
|
p
|
R
φ
(
ξ
,
p
+
x
⋅
ξ
)
d
p
{\displaystyle c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int \int _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy=c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp}
其中Rφ (ξ , p )φ 的拉東變換：
R
φ
(
ξ
,
p
)
=
∫
x
⋅
ξ
=
p
f
(
x
)
d
n
−
1
x
.
{\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}
平面波分解的另一個等價表達式是（Gelfand & Shilov 1966–1968 ，I, §3.10 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGelfandShilov1966–1968 (幫助 ) ）
δ
(
x
)
=
(
n
−
1
)
!
(
2
π
i
)
n
∫
S
n
−
1
(
x
⋅
ξ
)
−
n
d
ω
ξ
{\displaystyle \delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }}
對於偶數n ，且
δ
(
x
)
=
1
2
(
2
π
i
)
n
−
1
∫
S
n
−
1
δ
(
n
−
1
)
(
x
⋅
ξ
)
d
ω
ξ
{\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }}
對於奇數n 。
在對傅里葉級數 的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函數 相關的傅里葉級數是否收斂到該函數，以及從何種意義上收斂。週期為2π的函數f 的傅里葉級數的第n 部分和，定義是與狄利克雷核 在區間[−π,π]上的卷積：
D
N
(
x
)
=
∑
n
=
−
N
N
e
i
n
x
=
sin
(
(
N
+
1
2
)
x
)
sin
(
x
/
2
)
.
{\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})x\right)}{\sin(x/2)}}.}
因此
s
N
(
f
)
(
x
)
=
D
N
∗
f
(
x
)
=
∑
n
=
−
N
N
a
n
e
i
n
x
{\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}
其中
a
n
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
y
)
e
−
i
n
y
d
y
.
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}
傅里葉級數的一個基礎結果說明，當N → ∞δ 函數的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即
s
N
(
f
)
(
0
)
=
∫
R
D
N
(
x
)
f
(
x
)
d
x
→
2
π
f
(
0
)
{\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R} }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}
對於一切緊支撐光滑函數f 。從而，在區間[−π,π]上有
δ
(
x
)
=
1
2
π
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
n
x
.
{\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}.}
儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函數成立，換言之，DN 從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅里葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法 來達到收斂。從切薩羅求和法 發展出費耶核
F
N
(
x
)
=
1
N
∑
n
=
0
N
−
1
D
n
(
x
)
=
1
N
(
sin
N
x
2
sin
x
2
)
2
.
{\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}
費耶核從一種更強的意義向δ 函數收斂：[ e]
∫
R
F
N
(
x
)
f
(
x
)
d
x
→
2
π
f
(
0
)
{\displaystyle \int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}
對於一切緊支撐連續函數f 。結果是，所有連續函數的傅里葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函數的值。
狄拉克δ 分佈是在包含所有平方可積函數 的希爾伯特空間 L 2 無界 線性泛函 。緊支撐光滑函數在L 2 中是一個稠密集 ，且δ 分佈對於緊支撐光滑函數有良好定義。在許多應用中，可以對L 2 的某個子空間賦予更強的拓撲 ，使得δ 函數能夠定義一個有界線性算子 。
索伯列夫空間 索伯列夫嵌入定理 R 上的索伯列夫空間 上時，意味着任何平方可積函數f ，只要滿足
‖
f
‖
H
1
2
=
∫
−
∞
∞
|
f
^
(
ξ
)
|
2
(
1
+
|
ξ
|
2
)
d
ξ
<
∞
{\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }
就必定是連續的，而且滿足
δ
[
f
]
=
|
f
(
0
)
|
<
C
‖
f
‖
H
1
.
{\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}
從而δ 是一個在索伯列夫空間H 1 上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，δ 是H 1 的連續對偶空間 H −1 的元素。更一般地說，在n 維中，有δ ∈ H −s (R n s > n / 2
在複分析 中，δ 函數出現在柯西積分公式 中，公式說明，若D 是複數平面 上一個具有光滑邊緣的域，則
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
∂
D
f
(
ζ
)
d
ζ
ζ
−
z
,
z
∈
D
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}
對於一切在D 的閉包 內連續的全純函數 。從而，對於此類全純函數，δ 函數δ z
δ
z
[
f
]
=
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
∂
D
f
(
ζ
)
d
ζ
ζ
−
z
.
{\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}
更一般地來說，設H 2 (∂D )是一個哈代空間 ，它是所有在D 中直到D 的邊緣都是連續的全純函數，在L 2 (∂D )H 2 (∂D )中的函數可以唯一地延續成D 上的全純函數，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於z ∈ D δ 函數δ z H 2 (∂D )上的連續線性泛函。這是多複數變量函數中的特殊情況：對於光滑域D ，塞格核
在可分 希爾伯特空間 中，給定一個由函數{φ n 標準正交基 （如一個緊自伴算子的歸一化特徵向量 ），那麼任何向量f 都可以表達成：
f
=
∑
n
=
1
∞
α
n
φ
n
.
{\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}
系數{α n
α
n
=
⟨
φ
n
,
f
⟩
,
{\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}
也可以寫為
α
n
=
φ
n
†
f
,
{\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}
這是狄拉克符號 的一種。[ f] f 以並矢 方式展開：
f
=
∑
n
=
1
∞
φ
n
(
φ
n
†
f
)
.
{\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}
設I 是該希爾伯特空間上的恆等算子 ，則表達式
I
=
∑
n
=
1
∞
φ
n
φ
n
†
{\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger }}
稱為單位分解。當希爾伯特空間是L 2 (D )，包含所有在域D 上的平方可積函數，那麼
φ
n
φ
n
†
{\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger }}
就是一個積分算子，而f 可以重新表達為：
f
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
∫
D
(
φ
n
(
x
)
φ
n
∗
(
ξ
)
)
f
(
ξ
)
d
ξ
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}
右邊的級數是在L 2 當中向f 收斂。就算f 是連續函數，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫
f
(
x
)
=
∫
δ
(
x
−
ξ
)
f
(
ξ
)
d
ξ
,
{\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}
如此來表示δ 函數：
δ
(
x
−
ξ
)
=
∑
n
=
1
∞
φ
n
(
x
)
φ
n
∗
(
ξ
)
.
{\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}
在適當的裝備希爾伯特空間 (Φ, L 2 (D ), Φ*) 中，其中Φ ⊂ L 2 (D ) 包含所有緊支撐光滑函數，視乎基φ n
1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函數時，用到了一個無盡小数α ，使得函數δα 滿足[ g]
∫
F
(
x
)
δ
α
(
x
)
=
F
(
0
)
.
{\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0).}
他（以及拉扎爾·卡諾 ）把無盡小数定義為一個趨向於零的序列。
非標準分析 能夠嚴謹地處理無盡小数。利用超實數 的語言，狄拉克δ 函數可以用含有無盡小数的延伸實數來表達，詳見Yamashita (2007) 論文所列出的相關書目。這樣定義的δ 函數是真正意義上的函數，使得對於每個實函數F ，都有
∫
F
(
x
)
δ
α
(
x
)
=
F
(
0
)
,
{\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0),}
結果與傅里葉和柯西用別的語言所表達的一樣。
狄拉克梳子是無限個相距T 的δ 函數 由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做狄拉克梳子 Ш 相形稱為Ш分佈，是一個取樣 函數，常用在數碼訊號處理 和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個δ 函數的無限和，和的極限是分佈意義上的極限：
Δ
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
x
−
n
)
,
{\displaystyle \Delta (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}
這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。
狄拉克梳子是其自身的傅里葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若f 是速降函數 ，則f 在週期化後的結果以以下卷積表示：
(
f
∗
Δ
)
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
f
(
x
−
n
)
.
{\displaystyle (f*\Delta )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}
特別有，
(
f
∗
Δ
)
∧
=
f
^
Δ
^
=
f
^
Δ
,
{\displaystyle (f*\Delta )^{\wedge }={\hat {f}}{\widehat {\Delta }}={\hat {f}}\Delta ,}
這正是帕松求和公式。[ 54]
索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理 是量子力學中重要的定理，它把δ 函數和分佈p.v.1/x 聯繫起來，後者是函數1/x 的柯西主值 ，定義是
⟨
p
.
v
.
1
x
,
φ
⟩
=
lim
ε
→
0
+
∫
|
x
|
>
ε
φ
(
x
)
x
d
x
.
{\displaystyle \left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}
索霍茨基公式說明，
lim
ε
→
0
+
1
x
±
i
ε
=
p
.
v
.
1
x
∓
i
π
δ
(
x
)
,
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}
此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函數f ，
lim
ε
→
0
+
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
x
±
i
ε
d
x
=
∓
i
π
f
(
0
)
+
lim
ε
→
0
+
∫
|
x
|
>
ε
f
(
x
)
x
d
x
.
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}
克羅內克δ 函數 δij 的定義是，
δ
i
j
=
{
1
i
=
j
0
i
≠
j
{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}
對於所有整數i 、j 。它滿足以下的篩選性質：若
(
a
i
)
i
∈
Z
{\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }}
∑
i
=
−
∞
∞
a
i
δ
i
k
=
a
k
.
{\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}
這和狄拉克δ 函數的篩選性質十分相似：對於任何R 上的實函數或複函數f ，有
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
δ
(
x
−
x
0
)
d
x
=
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}
也就是說，克羅內克δ 函數可以看作是與狄拉克δ 函數對應的離散函數。
在機率論 和統計學 中，狄拉克函數往往以機率密度函數 的身份，來代表一個離散分佈 或部分離散、部分連續 的分佈（機率密度函數一般只用作描述完全連續分佈）。例如，設一組點x = {x 1 , ..., xn }，對應機率為p 1 , ..., pn ；由這些點所組成的離散分佈的機率密度函數可以寫作
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
p
i
δ
(
x
−
x
i
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}
又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈 ，而十分之四的情況下輸出單個數值3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函數是
f
(
x
)
=
0.6
1
2
π
e
−
x
2
2
+
0.4
δ
(
x
−
3.5
)
.
{\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).}
也可以以完全不同的方法，用δ 函數表示擴散過程 （如布朗運動 ）中的局部時 隨機過程 的局部時的表達式為
ℓ
(
x
,
t
)
=
∫
0
t
δ
(
x
−
B
(
s
)
)
d
s
{\displaystyle \ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds}
這代表了該過程在某特定區間內，在點x 所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成
ℓ
(
x
,
t
)
=
lim
ε
→
0
+
1
2
ε
∫
0
t
1
[
x
−
ε
,
x
+
ε
]
(
B
(
s
)
)
d
s
{\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}
其中1 [x −ε , x +ε ] [x −ε , x +ε ] 的指示函數 。
以下舉一個例子，展示δ 函數如何在量子力學 中派上用場。一個粒子 的波函數 所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅 。波函數假定屬於希爾伯特空間L 2 （平方可積函數 空間），且粒子在某空間範圍內出現的總機率，等於波函數的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函數{φ n
⟨
φ
n
|
φ
m
⟩
=
δ
n
m
{\displaystyle \langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\rangle =\delta _{nm}}
其中δ 指的是克羅內克δ 函數，而不是狄拉克δ 函數。一組標準正交波函數叫做在平方可積函數空間中完備，如果任何波函數ψ 都可以表達為一些φ n
ψ
=
∑
c
n
φ
n
,
{\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}
其中
c
n
=
⟨
φ
n
|
ψ
⟩
{\displaystyle c_{n}=\langle \varphi _{n}|\psi \rangle }
哈密頓算符 量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函數 正正就組成了波函數完備標準正交系統，每個本徵函數所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜 。利用狄拉克符號 （如上 ），上式所表達的就是單位分解：
I
=
∑
|
φ
n
⟩
⟨
φ
n
|
.
{\displaystyle I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.}
此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量 的特徵值也可以是連續的，就如位置算符 Qψ (x ) = xψ (x )連續光譜 。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函數。為了解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函數，從普通的函數到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的裝備希爾伯特空間 y ：
φ
y
(
x
)
=
δ
(
x
−
y
)
.
{\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (x-y).}
位置的本徵函數（分佈）用狄拉克符號記作
φ
y
=
|
y
⟩
{\displaystyle \varphi _{y}=|y\rangle }
這種處理方法同樣可以應用於動量算符 ，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界算子 P ，前提是P 具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集Ω（即算子的光譜）和一組分佈φ y y ，使得
P
φ
y
=
y
φ
y
.
{\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}
也就是說，φ y P 的特徵向量（本徵分佈）。如果這些特徵向量（作為分佈）都滿足歸一化條件：
⟨
φ
y
,
φ
y
′
⟩
=
δ
(
y
−
y
′
)
,
{\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),}
那麼對於一切測試函數ψ，就有
ψ
(
x
)
=
∫
Ω
c
(
y
)
φ
y
(
x
)
d
y
{\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}
其中
c
(
y
)
=
⟨
ψ
,
φ
y
⟩
.
{\displaystyle c(y)=\langle \psi ,\varphi _{y}\rangle .}
此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：
I
=
∫
Ω
|
φ
y
⟩
⟨
φ
y
|
d
y
{\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}
其中以算子為值的積分同樣理解為弱積分。若P 的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。
δ 函數在量子力學中還有眾多特殊應用，例如δ 位勢阱
在結構力學 中，δ 函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子 在t =0時突然受到衝量 為I 的力的衝擊，其演變可以如下描述：
m
d
2
ξ
d
t
2
+
k
ξ
=
I
δ
(
t
)
,
{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi }{\mathrm {d} t^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}
其中m 是質量，ξ是撓度，而k 是彈簧常數 。
根據歐拉﹣伯努力理論 ，一條細長的樑 的靜力負荷撓度是
E
I
d
4
w
d
x
4
=
q
(
x
)
,
{\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x),}
其中EI 是樑的彎曲剛度 ，w 是撓度 ，x 是空間坐標，而q (x )則是負荷分佈。如果棟樑在x = x 0 處受到點力F 的負荷，那麼負荷分佈可以寫作
q
(
x
)
=
F
δ
(
x
−
x
0
)
.
{\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}
由於δ 函數的積分是黑維塞階躍函數 ，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式 來表示。
δ 函數還可以描述作用在一條樑上的點彎矩 d 的相反方向的點力F ，它們在棟樑上所產生的彎矩為M = Fd 。在保持M 不變的情況下，使d 趨向於零。假設所產生的彎矩位於x = 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是
q
(
x
)
=
lim
d
→
0
(
F
δ
(
x
)
−
F
δ
(
x
−
d
)
)
=
lim
d
→
0
(
M
d
δ
(
x
)
−
M
d
δ
(
x
−
d
)
)
=
M
lim
d
→
0
δ
(
x
)
−
δ
(
x
−
d
)
d
=
M
δ
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\&=M\delta '(x).\end{aligned}}}
因此點彎矩可以用δ 函數的導數來描述。對棟樑方程式積分，得出的撓度一樣是分段多項式。
提示：此條目的主題不是克羅內克δ函數。
![{\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cf5dcc3281854d43da9c037541ec90ed8c36de)
![{\displaystyle \forall \varphi ,\delta [\varphi ]=\varphi (0).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c4a31858858e7c38ee708579a5c835ba404a0e)
![{\displaystyle |S[\varphi ]|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}|\varphi ^{(k)}(x)|.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8897f2a0b5cbf8ea984c10476d789429227f47)
![{\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d79a396d1c784e33a0a9e0a951dc72eb82afbd0)
![{\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9219b75c2a59f85c4a495187a42b9f997c7547a9)
![{\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6570a1d3ae92889f1cb92ad03121ad1ef10acd1)
![{\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} )}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5ae1f673e93e7bd1c4aba05cc2997d2b9c368d)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8007cb6fa52a213211396ce15fa16d836540ab0c)
![{\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcbd7eb8726c02cb50a897f5d3ae2fdc88ad3d0)
![{\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b8ca88b17041c8f71580ab9779320dfddadb28)
![{\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7641428f61e4c1de41526c105208eccffd83eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\delta (-x)={\frac {d}{dx}}\delta (x)\\[8pt]&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\[8pt]&x\delta '(x)=-\delta (x).\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc61dfcaa0f5761f57b28ecfcdf566a3d4caa059)
![{\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae820065c43b667f4247c78672dcd2f83fa79316)
=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9dba5209bfdb79796ee7978fbc154e029212b62)
![{\displaystyle L[u]=f}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fae1c6113a386375781db69a2e49cdcc4996063)
![{\displaystyle L[u]=\delta .}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6306e66d605d9cde6ddf5b7f85302c2aa915dcd7)
![{\displaystyle L[u]=h}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a532cf7d2fd63a65144c98a7bbf8456eceaf91)
![{\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\&\\-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139a04255f81417248b7c42cf830ce342a64d0fb)
![{\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d546155e53e1d2a324b2639790b8845db523fca)
![{\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35176ad52679bd943137c4ab9d002ad92a8c4dea)
![{\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5559ee5dae6a003812081e6f4785fe97c5c7ce3e)
