無窮小量

無窮小量（英語：Infinitesimal），或稱「不可分量」，是數學分析中的一個概念，用於嚴格地定義諸如「最終會消失的量」^[參1]、「絕對值比任何正數都要小的量」等非正式描述。在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常以函數、序列等形式出現。

定義

一個序列${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$若滿足如下性質：

• 對任意的預先給定的正實數${\displaystyle \varepsilon >0}$，存在正整數${\displaystyle \displaystyle N}$使得

${\displaystyle |a_{k}|<\varepsilon }$

在${\displaystyle \displaystyle k>N}$時必定成立；或用極限符號把上述性質簡記為

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

則序列${\displaystyle a}$被稱為${\displaystyle n\to \infty }$時的無窮小量^[註1]。

歷史

無窮小量對應英語的Infinitesimals^[註2]，用於表達一種極其微小的對象，人們根本無從看見它們或者量度它們。在日常生活中，Infinitesimal作為形容詞可以指「非常小」，但不一定是「無窮的小」。而中文的「無窮小量」僅是技術用語。

「無窮小的量」的概念最初在埃利亞學派有所討論。柏克萊指出無窮小量的特性為「既不是有限量，也不是無限小，又不是零」。而阿基米德在其《機械原理方法論》（The Method of Mechanical Theorems）中初次提出過一種和無窮量有關的邏輯上嚴密的敍述^[參4]。但在古希臘的數學系統裏，實數並沒有獨立的存在地位，而是用幾何上的長度來表示：1是代表某條線段的規定長度，用來給出測量所需的長度單位，數的加減法用線段的延長和截短來表示。阿基米德所說的是：對任意兩個長度不等（無論長度相差多少）的線段，在長線段裏不斷截去短線段的長度，在有限次之後就不能再截下去，因為那些短線段長度的「和」超過了原本較長的那一條。如果把線段長度理解成數的話，則反映了實數集的阿基米德性質：沒有任何實數x可以滿足條件|x|>1，|x|>1+1，|x|>1+1+1……，即無窮大的實數並不存在。儘管如此，阿基米德還是把無窮大量和無窮小量用於啟發式的論證中，但在完整的數學證明裏則拒絕使用它們，而致力於使用「窮竭法」, 類似於現在的「ε-δ語言」。

牛頓和萊布尼茲發展微積分學時使用過無窮小量，但這樣的不嚴格使用引來一些批評者的攻擊。貝克萊主教就是其中之一^[參5]。儘管數學家、科學家、工程師等不斷使用無窮小量來得到正確的結果，微積分卻一直到後半十九世紀才等到了更嚴謹的，使用了ε-δ語言和集合論描述的形式，這項工作由奧古斯丁·路易·柯西，伯納德·波爾查諾、卡爾·魏爾施特拉斯、格奧爾格·康托爾、理查德·戴德金等人完成。隨着數學的發展及康托、戴德金、魏爾施特拉斯等人及他們的追隨者的探索，他們的哲學家好友伯特蘭·羅素、魯道夫·卡爾納普等人認為「無窮小」是偽概念；但同時，赫爾曼·科恩等新康德主義者希望能找到一個保留無窮小的邏輯系統^[參6]。在二十世紀，無窮小量才得到了嚴格的處理，成為一種「數」。以上任何一種處理辦法都不是錯誤的——如果正確地使用的話^[註3]。

在一份HPM（數學史與數學教學，History and Pedagogy of Mathematics）的研究中^[參7]，對無窮小量在一些數學家眼裏的認識有一個總結：

人物	年代	對無窮小量的觀點，或處理方法
歐幾里得等古希臘數學家	公元前300年	窮竭法：他們相信用間接法才能使面積問題獲得嚴格證明。
卡瓦列里（B. Cavalieri）	1598-1647	把無窮小量的辦法推進了一步(見祖暅原理)。
沃利斯（J. Wallis）	1616-1703	他對極限的定義「含有正確的想法，但用詞不嚴謹」。
萊布尼茲	1646-1716	其演算法很成功，但「對概念不太確定」。他對於「消失中的量」的立場是複雜的，而且隨時間而變。
歐拉	1707-1783	獲得了很多重要結果，但不考慮真正無窮小量帶來的困難。其觀點受十七世紀典型的科學思維框架影響。
達朗貝爾（J. d'Alembert）	1717-1783	拒絕承認「消失中的量」。他給出過極限的定義，但措辭不明確。
拉格朗日	1736-1813	也拒絕承認無窮小量，企圖把微積分歸結為代數。
柯西	1789-1857	其寫下的定義至今依然通用，由當時可以使用的數學語言寫成。

就目前所知，在十九世紀以前沒有任何形式上定義好的數學概念是直接把無窮小量當作「正常」的數來處理的，但很多想法其實已經出現。微積分的奠基人——牛頓、萊布尼茲、歐拉，以及很多其他人——以一種不嚴格的方式使用無窮小量，卻也能得到正確而深刻的結果（類似地，實數在當時也沒有正式的定義）。

關鍵字

• 窮竭法
• 無窮乘積
• 牛頓的流數法
• 萊布尼茲的「${\displaystyle \mathrm {d} x}$」記號
• 歐拉對級數的處理
• 一致收斂
• 嚴格的極限概念
• 非標準分析

經典分析中的處理

階的比較

設${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，${\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$為兩個序列，而且都是${\displaystyle n\to \infty }$時的無窮小量。雖然它們在${\displaystyle n}$趨於無窮時都趨於零，但趨於零的速度是有區別的。可以用如下方式比較它們的速度：

• 若對於任意正實數${\displaystyle \displaystyle c>0}$，存在正整數${\displaystyle \displaystyle N}$使得

${\displaystyle a_{k}<c\cdot b_{k}}$

在${\displaystyle \displaystyle k>N}$時總是成立，則稱${\displaystyle \displaystyle a}$是${\displaystyle \displaystyle b}$的高階無窮小^[參8]，記作

${\displaystyle \displaystyle a_{n}=o(b_{n})\quad (n\to \infty )}$

其中的${\displaystyle n\to \infty }$有時也被省略不寫。

在上述定義中，也可以說無窮小量${\displaystyle a}$的階要比${\displaystyle b}$的要高，或者說${\displaystyle a}$比${\displaystyle b}$更快地趨於零，儘管在此時「階」或者「速度」本身其實都沒有明確的定義。

性質

1. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是無窮小量，改變${\displaystyle \{a_{n}\}}$中的某有限項之後，它仍是無窮小量。
2. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$、${\displaystyle \{b_{n}\}}$都是無窮小量，${\displaystyle \{a_{n}+b_{n}\},\{a_{n}-b_{n}\}}$也是無窮小量。
3. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是無窮小量，${\displaystyle \{b_{n}\}}$是有界數列，則${\displaystyle \{a_{n}b_{n}\}}$也是無窮小量。
4. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是無窮小量，${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$，則${\displaystyle \{b_{n}\}}$也是無窮小量。
5. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是無窮小量，從${\displaystyle \{a_{n}\}}$中取出無窮多的一部分，按原來的次序排成的數列（這叫做${\displaystyle \{a_{n}\}}$的子列）也是無窮小量。
6. 把${\displaystyle \{a_{n}\}}$的次序打亂重新得到的數列${\displaystyle \{b_{n}\}}$。若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是無窮小量，則${\displaystyle \{b_{n}\}}$也是無窮小量。
7. 無窮小量是有界列。
8. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$的各項相等，${\displaystyle \{a_{n}\}}$是無窮小量則必有${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=\cdots =0}$。

非標準分析中的處理

設F為有序域，a為F中的一個非零元素。若對F中任意正整數n^[註4]，a < 1/n和-a > -1/n都成立（換句話說，即a的絕對值小於1/n），則稱a為無窮小量。

一階性質

在把擴充實數系使其能包含無窮大量和無窮小量時，人們希望能夠盡量保持原系統的各種基本的性質^[註5]，這樣的好處是，那些使用基本性質證明過的命題能夠在新的系統裏自動成立。這裏的「基本」通常是指不對集合使用量詞，但可以對集合的元素使用（有限次），比如以下公理「對任意的x，x+0=x」仍然應該成立；使用兩次也行：「對任意的x和y，xy=yx」，而如果出現「對任意集合S」則不能算基本性質，在新系統中可能不成立，比如「任何形如{k∈Z|xk>y}都不是空集」就是一例（其實這就是阿基米德性質）。對命題量詞的這種限制，叫做一階邏輯。類似於阿基米德性質，實數集的完備性也不能在新的系統裏成立，因為實數集是唯一的完備有序域。

註解

註:
1. ${\displaystyle n\to \infty (n\in \mathbb {N} )}$是一種濾子。無論是無窮小量、無窮大量還是極限，都需在特定濾子之下討論。其它常見的濾子有${\displaystyle x\to -\infty (x\in \mathbb {R} )}$，${\displaystyle (x,y,z)\to (a,b,c)((x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3})}$等等。在非標準分析中，無窮小量也和實數一樣被視為具體的「數」，這些數比零大，但比任何正實數都小。前面用序列來定義無窮小量的經典方法或多或少有些難於處理，而「非標準」的無窮小量

   利用他們，羅賓遜和其他人輕鬆地證明了所有傳統定理和部分新定理，而19世紀的方法永遠無法處理這些定理。他們恢復了萊布尼茲的聲譽，也糾正了我們在思考運動變化的一點偏差。

   引文^[參2]提到的羅賓遜（Abraham Robinson，一譯魯賓遜）是非標準分析的開創者之一^[參3]，他提出了無窮小量的新定義。直觀的說，如果一個數比1, 1+1, 1+1+1...等任何自然數大稱為無窮大；則一個數不等於零且它的倒數是無窮大稱為無窮小。但這種數的存在與否，甚至能不能合法的稱作一種「數」等問題，都是需要進一步考慮的本質問題。

2. 此詞源於十七世紀的現代拉丁語新造詞infinitesimus,本來是指一個序列的「第無窮個」元素
3. 不嚴格的處理辦法，一般來講要求使用者具有更正確的數學直覺。
4. F中的正整數集定義為滿足如下性質的最小集合A：A含有乘法單位元（即1∈A)，且只要n∈A，n+1∈A也一定成立。

參考資料

參:
1. vanishing quantity，可見於非正式的數學描述，如 Theodor Gomperz(2007) 的 Greek Thinkers - A History of Ancient Philosophy （READ BOOKS 出版, ISBN 1406766054620） 第197頁：「If we take counsel to the mathematicians, we shall be advised to neglect the infinitesimally small or vanishing quantity...」
2. 《零的歷史》196頁。卡普蘭著，郝以磊，茹季月譯，中信出版社出版(2005)。ISBN 7-5086-0158-0
3. 〔美〕道本周(Joseph W. Dauben（英語：Joseph W. Dauben）)原著：《非標準分析創始人：魯賓遜》，王前等譯，科學出版社，ISBN 7-03-015151-8
4. 阿基米德著《機械原理方法論》；見阿基米德羊皮書
5. 喬治·貝克萊《分析者》（The Analyst; 或者「向異端數學家發表的演說」）
6. Mormann, Thomas; Katz, Mikhail. Infinitesimals as an Issue of Neo-Kantian Philosophy of Science. HOPOS: The Journal of the International Society for the History of Philosophy of Science. Fall 2013, 3 (2): 236–280. JSTOR 10.1086/671348. arXiv:1304.1027 . doi:10.1086/671348.
7. Giorgio BAGNI(2004), 「HISTORY OF CALCULUS FROM EUDOXUS TO CAUCHY」 --- Historical investigation and interpretation and Mathematics education, Proceedings of HPM–2004 & ESU–4, Revised edition (pp. 529–536). Crete: Emedia, University of Crete.
8. 可參考《微積分/I》§2.3，清華大學出版社(2003)，ISBN 7-302-06785-6