橢圓型偏微分方程

橢圓型偏微分方程（英語：Elliptic partial differential equation）是一類二階線性偏微分方程，形式為：

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0\,}$

並滿足

${\displaystyle B^{2}-AC<0.\ }$

其中A, B, C, D, E, F, and G是x和y的函數，${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$, ${\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}$，${\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}$的定義也類似

其名稱是源自橢圓形的方程式。

最簡單的橢圓型偏微分方程是拉普拉斯方程，${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$，以及泊松方程，${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$。其他所有的雙變數橢圓型偏微分方程都是這兩種方式的擴展，而且一定可以透過變數變換^[1][2]，轉換為以下的標準形。

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

參見

• 橢圓算子
• 拋物型偏微分方程
• 雙曲型偏微分方程
• 二階偏微分方程

參考文獻

1. Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-84886-2.
2. Zauderer, Erich. Partial Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley&Sons. 1989. ISBN 0-471-61298-7.