拋物偏微分方程

拋物型偏微分方程是一類二階偏微分方程，描述自然科學中廣泛的問題，包括熱能的擴散以及布萊克-斯科爾斯模型。這些問題，通常被稱為演化問題。數學上，具有以下形式的偏微分方程

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots =0}$

是拋物型的，如果它滿足條件

${\displaystyle B^{2}-AC=0}$。

這一定義與平面上的拋物線的定義是類似的。

一個簡單的拋物型偏微分方程是一維的熱傳導方程，

${\displaystyle u_{t}=ku_{xx}}$，

其中${\displaystyle u(t,x)}$是時間${\displaystyle t}$時在${\displaystyle x}$處的溫度，${\displaystyle k}$是常數。符號${\displaystyle u_{t}}$表示對時間變量${\displaystyle t}$的偏導數，同樣的${\displaystyle u_{xx}}$是對${\displaystyle x}$的二階偏導數。

這個方程的意思是說，在某個時間位置上的溫度的變化速率正比於該點附近的平均溫度與該點溫度之差。

熱傳導方程的主要推廣具有形式

${\displaystyle u_{t}=Lu}$，

其中${\displaystyle L}$是橢圓微分算子。這一系統隱含在以下方程中

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{T}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

當矩陣函數${\displaystyle a(x)}$具有一個維數為1的核。

拋物微分方程的例子

• 熱傳導方程
• 主曲率流
• 里奇流

參見

• 橢圓型偏微分方程
• 雙曲型偏微分方程