測度

在數學中，測度是一種將幾何空間的度量（長度、面積、體積）和其他常見概念（如大小、質量和事件的概率）廣義化後產生的概念。傳統的黎曼積分是在區間上進行的，為了把積分推廣到更一般的集合上，人們就發展出測度的概念。一個特別重要的例子是勒貝格測度，它從 ${\displaystyle n}$ 維歐式空間 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 出發，概括了傳統長度、面積和體積等等的概念。

測度具有單調性，如果集合A是集合B的子集，那麼集合A的測度小於或等於集合B的測度。此外空集的測度為0。例如體積（物體所佔據的空間的大小）就是一種測度。

研究測度的學問被統稱為測度論，因為指定的數值通常是非負實數，所以測度論通常會被視為實分析的一個分支，它在數學分析和概率論有重要的地位。

正式定義

定義 — ${\displaystyle (X,\,\Sigma )}$ 為可測空間，函數 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}$ 若滿足：

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ (空集合的測度為零)

• 可數可加性( ${\displaystyle \sigma }$-可加性)： 若集合序列 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$ 對所有不相等正整數 ${\displaystyle i\neq j}$ 都有 ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }$，則

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$。

那 ${\displaystyle \mu }$ 被稱為定義在 ${\displaystyle \Sigma }$ 上的一個非負測度，或簡稱為測度。為了敘述簡便起見，也可稱 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 為一測度空間。

直觀上，測度是「體積」的推廣；因為空集合的「體積」當然為零，而且互相獨立的一群（可數個）物體，總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總（的極限）。而要定義「體積」，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見σ-代數。

如果將 ${\displaystyle \mu }$ 的值域擴展到複數，也就是說 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$ ，那 ${\displaystyle \mu }$ 會被進一步稱為複數測度。^[1]

定義的分歧

若照着上述定義，根據可數可加性，不少母集合本身的測度值會變成無窮大（如對 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 本身取勒貝格測度），所以實際上不存在。但某些書籍^[2]會形式上將無窮大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限實數值的測度稱為（非負）有限測度。但這樣"定義"，會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。

所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義勒貝格測度），那就必須把σ-代數換成條件比較寬鬆的半集合環（英語：Semiring#Semiring_of_sets），然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的前測度（英語：Pre-measure）。

更進一步的，如果對測度空間 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 來說，母集合 ${\displaystyle X}$ 可表示為 ${\displaystyle \Sigma }$ 內的某可測集合序列 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$ 的併集：

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$

且 ${\displaystyle \mu }$ 只容許取有限值，則 ${\displaystyle \mu }$ 會被進一步的稱為（非負）σ-有限測度。

性質

單調性

測度${\displaystyle \mu \ }$的單調性： 若${\displaystyle E_{1}\ }$和${\displaystyle E_{2}\ }$為可測集，而且${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$，則${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$。

可數個可測集的併集的測度

若${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }$為可測集（不必是兩兩不交的），則集合${\displaystyle E_{n}\ }$的併集是可測的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$

如果還滿足並且對於所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n}\ }$⊆${\displaystyle E_{n+1}\ }$，則如下極限式成立：

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

可數個可測集的交集的測度

若${\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }$為可測集，並且對於所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n+1}\ }$⊆${\displaystyle E_{n}\ }$，則${\displaystyle E_{n}\ }$的交集是可測的。進一步說，如果至少一個${\displaystyle E_{n}\ }$的測度有限，則有極限：

${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$

如若不假設至少一個${\displaystyle E_{n}\ }$的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對於每一個${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，令

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$

這裏，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。

完備性

定義 — 
${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 是測度空間，若${\displaystyle N\in \Sigma }$ 且 ${\displaystyle \mu (N)=0\ }$，則 ${\displaystyle N}$ 被稱為零測集（null set ）。

若所有零測集的子集都可測，則 ${\displaystyle \mu }$ 稱為完備的（complete）。

直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意測度可以按如下的定理擴展為完備測度：^[3]

定理 — 
${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 是測度空間，若取：

${\displaystyle \Sigma ^{\star }:={\bigg \{}S\,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\}{\bigg \}}}$

那 ${\displaystyle \Sigma ^{\star }}$ 是一個Σ-代數，此時若定義：

${\displaystyle \mu ^{\star }:={\bigg \{}\langle S,\,r\rangle \,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\wedge [r=\mu (A)]\}{\bigg \}}}$

那 ${\displaystyle \mu ^{\star }}$ 是定義在 ${\displaystyle \Sigma ^{\star }}$ 上的完備測度，且有：

${\displaystyle (\forall S\in \Sigma )[\mu ^{\star }(S)=\mu (S)]}$

證明

例子

下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。

• 計數測度　定義為${\displaystyle \mu (S)=S\ }$的「元素個數」。
• 一維勒貝格測度是定義在${\displaystyle \mathbb {R} }$的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足${\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }$的唯一測度。
• Circular angle測度是旋轉不變的。
• 局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。
• 恆零測度定義為${\displaystyle \mu (S)=0\ }$，對任意的${\displaystyle S\ }$。
• 每一個概率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間[0,1]中）。這就是所謂概率測度。見概率論公理。

其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。

相關條目

• 外測度（Outer measure）
• 幾乎處處（Almost everywhere）
• 勒貝格測度（Lebesgue measure）
• 勒貝格積分
• 法圖引理(Fatou's lemma)
• 富比尼定理(Fubini's theorem)
• 可測基數

參考文獻

1. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.
2. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.
3. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1974: 29-29. ISBN 0070542333.

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Tutorial: Measure Theory for Dummies（為初學者準備的測度論教學） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）