測度空間

測度空間是測度論的基本概念，可以看做是面積概念的推廣，由一個基本的集合 ${\displaystyle X}$ 以及基於這集合的某些子集合所構成的一個新的集合 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$，這新集合會滿足 σ-代數的性質，直覺的講，對 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或概率等，其真正意義要看所在空間 ${\displaystyle X}$ 來決定。和一個定義在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上滿足某些特別性質的(非負)函數 ${\displaystyle \mu }$，也就是測度，測度空間就由這三部分，${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$，所構成。測度空間的一個實例是概率空間。

可測度空間(measurable space)包含前兩部分但不含測度。

定義

一個測度空間包含三部分資訊 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$，且滿足下列條件：^[1][2]

• ${\displaystyle X}$ 為非空集合
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 為 ${\displaystyle X}$ 上的一個 σ-代數，也就是滿足某些條件的 ${\displaystyle X}$ 中的一些子集構成的集合。
• ${\displaystyle \mu }$ 為 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ 上的測度，換句話講，是一個定義在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的有特別性質的(非負)函數。

例子

對集合

${\displaystyle X=\{0,1\},}$

取

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$

定義

${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$

則根據測度的可數可加性，${\textstyle \mu (\{0,1\})=1.}$ 另根據測度的定義，${\textstyle \mu (\emptyset )=0.}$ 則${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$為一個測度空間。

本例中的測度對應於${\textstyle p={\frac {1}{2}}}$的伯努利分佈。

參見

• 冪集
• 可測空間

參考文獻

1. Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. 2008: 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
2. Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.