絕對連續

在數學中，絕對連續是一個光滑性質，比連續和一致連續都要嚴格。函數的絕對連續和測度的絕對連續都有定義。

函數的絕對連續

定義

設(X, d)為一個度量空間，並設I為實直線R上的區間。函數f : I → X在I上絕對連續，如果對於每一個正數${\displaystyle \varepsilon }$，都存在一個正數${\displaystyle \delta }$，使得當I的兩兩不交的子區間[x_k, y_k]的（有限或無限）序列滿足

${\displaystyle \sum _{k}|y_{k}-x_{k}|<\delta }$

時，就有：

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon .}$

所有從I到X的絕對連續函數的集合記為AC(I; X)。

一個進一步的推廣是曲線f : I → X的空間AC^p(I; X)，使得：

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau }$，對於所有的${\displaystyle [s,t]\subseteq I}$

對於L^p空間L^p(I; R)中的某個m。

性質

• 兩個絕對連續函數的和與差也是絕對連續的。

• 如果兩個函數是定義在一個有界的閉區間上，那麼它們的乘積也是絕對連續的。

• 如果一個絕對連續的函數處處不為零，那麼它的倒數也是絕對連續的。

• 每一個絕對連續的函數都是一致連續和連續的。每一個利普希茨連續的函數都是絕對連續的。

• 如果f : [a,b] → X是絕對連續的，那麼它在[a,b]內是有界變差函數。

• 如果f : [a,b] → R是絕對連續的，那麼它便具有盧津N性質。也就是說，對於任何${\displaystyle L\subseteq [a,b]}$使得${\displaystyle \lambda (L)=0}$，都有${\displaystyle \lambda (f(L))=0}$，其中${\displaystyle \lambda }$表示R上的勒貝格測度。

• 如果f : I → R是絕對連續的，那麼f幾乎處處具有導數，導數是勒貝格可積的，且其積分等於f的增量。

• f : I → R是絕對連續的，若且唯若它是連續和有界變差，且具有盧津N性質。

測度的絕對連續

如果μ和ν是相同測度空間上的測度，那麼我們稱μ關於ν絕對連續，如果對於每一個滿足ν(A) = 0的集合A都有μ(A) = 0，記為「μ ≪ ν」。用符號來表示，就是：

${\displaystyle \mu \ll \nu \iff \left(\nu (A)=0\implies \mu (A)=0\right).}$

測度的絕對連續是自反和傳遞的，但不是反對稱的，因此它是一個預序關係，而不是偏序關係。如果μ ≪ ν且ν ≪ μ，那麼測度μ和ν稱為等價的。

如果μ是帶號測度或複測度，那麼我們稱μ關於ν絕對連續，如果它的變差|μ|滿足|μ| ≪ ν；等價地，如果每一個滿足ν(A) = 0的集合A都是μ-零測集。

拉東-尼科迪姆定理說明，如果μ關於ν絕對連續，且ν是σ-有限測度的，那麼μ便具有一個關於ν的密度，或「拉東-尼科迪姆導數」，這意味着存在一個ν-可測函數f，在[0, +∞)內取值，記為f = ^dμ⁄_dν，使得對於任何ν-可測集A，都有：

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} \nu .}$

在大部分應用中，如果我們只說n維歐幾里得空間Rⁿ上的測度是絕對連續的，而不具體說明它是關於哪一個測度絕對連續的，那麼通常就意味着是關於勒貝格測度絕對連續的。由於Rⁿ關于勒貝格測度是σ-有限的，因此Rⁿ上的絕對連續測度正好是具有密度的測度；特別地，絕對連續的概率測度正好是具有概率密度函數的測度。

兩個絕對連續的概念之間的關係

實直線的波萊爾子集上的測度μ關于勒貝格測度絕對連續，若且唯若點函數

${\displaystyle F(x)=\mu ((-\infty ,x])}$

是一個局部絕對連續的實函數。也就是說，一個函數是局部絕對連續的，若且唯若它的分佈 (數學)|分佈導數是一個測度，關于勒貝格測度絕對連續。

奇異測度

通過勒貝格分解定理，每一個測度都可以分解成一個絕對連續測度與一個奇異測度的和。關於非（絕對連續）的測度，參見奇異測度。

例子

以下的函數是處處連續的，但不是絕對連續的：

• 康托爾函數；
• 含有原點的有限區間內的函數

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$；

• 無界區間內的函數ƒ(x) = x²。

參考文獻

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