單位元素

單位元素（unit element^[1]）也稱恆等元（identity element）、中立元（neutral element）、恆元，是集合裏的一種特殊元素，與該集合裏的二元運算有關。單位元素和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元素在群和其他相關概念中都有使用。

提示：此條目的主題不是單位圓。

設${\displaystyle (S,*)}$為一帶有一二元運算${\displaystyle *}$的集合${\displaystyle S}$（稱為原群）。若${\displaystyle S}$內有一元素${\displaystyle e}$對S內所有元素a滿足${\displaystyle e*a=a}$，則${\displaystyle e}$被稱為左單位元素；若滿足${\displaystyle a*e=a}$，則稱為右單位元素。而若${\displaystyle e}$同時為左單位元素及右單位元素，則稱為雙邊單位元素，又簡稱為單位元素。

對應加法的單位元素稱為加法單位元素（通常被標為0），而對應乘法的單位元素則稱為乘法單位元素（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。

例子

集合	運算	單位元素
實數	+（加法）	0
實數	·（乘法）	1
實數	${\displaystyle a^{b}}$（乘方）	1（只為右單位元素）
複數	+（加法）	0
複數	·（乘法）	1
矩陣	+（加法）	零矩陣
方陣	·（乘法）	單位矩陣
所有從集合M映射至其自身的函數	${\displaystyle \circ }$（函數複合）	單位函數
所有從集合M映射至其自身的函數	${\displaystyle *}$（卷積）	${\displaystyle \delta }$（狄拉克δ函數）
字串	串接	空字元串
擴展的實軸	最大值	${\displaystyle -\infty }$
擴展的實軸	最小值	${\displaystyle \infty }$
集合M的子集	${\displaystyle \cap }$（交集）	M
集合	${\displaystyle \cup }$（併集）	${\displaystyle \{\}}$（空集）
布爾邏輯	${\displaystyle \land }$（邏輯與）	⊤（真值）
布爾邏輯	${\displaystyle \lor }$（邏輯或）	⊥（假值）
閉二維流形	#（連通和）	${\displaystyle S^{2}}$
只兩個元素${\displaystyle \{e,f\}}$	* 定義為 ${\displaystyle e*e=f*e=e}$且 ${\displaystyle f*f=e*f=f}$	${\displaystyle e}$和${\displaystyle f}$都是左單位元素，但不存在右單位元素和雙邊單位元素

如最後一個例子所示，有多個左單位元素是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元素。同樣地，右單位元素也一樣。但若同時存在有右單位元素和左單位元素，則它們會相同，且僅存在一個雙邊單位元素。要證明這個，設${\displaystyle I}$為左單位元素且${\displaystyle r}$為右單位元素，則${\displaystyle I=I*r=r}$。特別的，不存在兩個以上的單位元素。若有兩個單位元素${\displaystyle e}$和${\displaystyle f}$，則${\displaystyle e*f}$必同時等於${\displaystyle e}$和${\displaystyle f}$。

一個代數也可能沒有單位元素。最常見的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元素的原因在於，相乘的兩個元素都會是向量，但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元素的原因則在於，任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交，因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。

參考

1. 存档副本. [2023-07-19]. （原始內容存檔於2023-07-19）.

另見

• 反元素
• 加法反元素
• 么半群
• 單作
• 擬群