黎曼積分

在實分析中，由黎曼創立的黎曼積分（英語：Riemann integral）首次對函數在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼－斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分得到修補。

概念

作為曲線與坐標軸所夾面積的黎曼積分

讓函數 ${\displaystyle f}$ 為定義在區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 的非負函數，我們想要計算 ${\displaystyle f(x)}$所代表的曲線與 ${\displaystyle x}$坐標軸跟兩條垂直線 ${\displaystyle x=a}$ 跟 ${\displaystyle x=b}$ 所夾圖形的面積（既右圖區域 ${\displaystyle S}$ 的面積），可將區域 ${\displaystyle S}$ 的面積以下面符號表示：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

黎曼積分的基本概念就是對 x-軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 ${\displaystyle S}$ 的面積（參考右方第二張圖）。同時請注意，如函數為負函數， ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} _{<0}}$，則其面積亦為負值。

分割越來越「細」的黎曼和。右上角的數字表示所有矩形面積（既黎曼和）。這黎曼和數列會趨於此函數的積分。

定義

區間的分割

一個閉區間${\displaystyle [a,b]}$的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$。(由a至b內的所有x)

每個閉區間${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$叫做一個子區間。定義${\displaystyle \lambda }$為這些子區間長度的最大值：${\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}$，其中${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$。

再定義取樣分割。一個閉區間${\displaystyle [a,b]}$的一個取樣分割是指在進行分割${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$後，於每一個子區間中${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$取出一點${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}$。${\displaystyle \lambda }$的定義同上。

精細化分割：設${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$以及${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$構成了閉區間${\displaystyle [a,b]}$的一個取樣分割，${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$和${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$是另一個分割。如果對於任意${\displaystyle 0\leq i\leq n}$，都存在${\displaystyle r(i)}$使得${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$，並存在${\displaystyle r(i)\leq j<r(i+1)}$使得${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$，那麼就把分割：${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$、${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$稱作分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

黎曼和

對一個在閉區間${\displaystyle [a,b]}$有定義的實值函數${\displaystyle f}$，${\displaystyle f}$關於取樣分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$的黎曼和（積分和）定義為以下和式：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}$

和式中的每一項是子區間長度${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}$與在${\displaystyle t_{i}}$處的函數值${\displaystyle f(t_{i})}$的乘積。直觀地說，就是以標記點${\displaystyle t_{i}}$到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。

黎曼積分

不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越「精細」的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對「越來越『精細』」作出嚴格的定義。

要使得「越來越『精細』」有效，需要把${\displaystyle \lambda }$趨於0。如此${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$中的函數值才會與${\displaystyle f(t_{i})}$接近，矩形面積的和與「曲線下方」的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。

嚴格定義如下：${\displaystyle S}$是函數${\displaystyle f}$在閉區間${\displaystyle [a,b]}$上的黎曼積分，當且僅當對於任意的${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在${\displaystyle \delta >0}$，使得對於任意的取樣分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$，只要它的子區間長度最大值${\displaystyle \lambda \leq \delta }$，就有：

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$

也就是說，對於一個函數${\displaystyle f}$，如果在閉區間${\displaystyle [a,b]}$上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數${\displaystyle f}$的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼${\displaystyle f}$在閉區間${\displaystyle [a,b]}$上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數${\displaystyle f}$為黎曼可積的。

這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有${\displaystyle \lambda \leq \delta }$的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。

另一個定義: ${\displaystyle S}$是函數${\displaystyle f}$在閉區間${\displaystyle [a,b]}$上的黎曼積分，當且僅當對於任意的${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在一個取樣分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$，使得對於任何比其「精細」的分割${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ and ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$，都有：

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$

這兩個定義是等價的。如果有一個${\displaystyle S}$滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個${\displaystyle S}$滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值${\displaystyle \lambda \leq \delta }$的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於${\displaystyle \delta }$，於是滿足

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$

其次證明滿足第二個定義的${\displaystyle S}$也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$使得它的上達布和與下達布和都與${\displaystyle S}$相差不超過${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$。令${\displaystyle r}$等於${\displaystyle \max _{0\leq i\leq n-1}(M_{i}-m_{i})}$，其中${\displaystyle M_{i}}$和${\displaystyle m_{i}}$是${\displaystyle f}$在${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$上的上確界和下確界。再令${\displaystyle \delta }$是${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}}$和${\displaystyle \min _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})}$中的較小者。可以看出，當一個分割的子區間長度最大值小於${\displaystyle \delta }$時，${\displaystyle f}$關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$，所以和${\displaystyle S}$至多相差${\displaystyle \epsilon }$。

由於以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。

黎曼積分的性質

• 線性性：黎曼積分是線性轉換，也就是說，如果${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上黎曼可積，${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$是常數，則：

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

由於一個函數的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間${\displaystyle [a,b]}$後，將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射${\displaystyle I:f\longrightarrow \int _{a}^{b}fdx}$是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。

• 正定性：如果函數${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上幾乎處處（勒貝格測度意義上）大於等於0，那麼它在${\displaystyle [a,b]}$上的積分也大於等於零。如果${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上幾乎處處大於等於0，並且它在${\displaystyle [a,b]}$上的積分等於0，那麼${\displaystyle f}$幾乎處處為0。

• 可加性：如果函數${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,c]}$和${\displaystyle [c,b]}$上都可積，那麼${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上也可積，並且有

${\displaystyle \int _{a}^{b}fdx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

無論a、b、c之間的大小關係如何，以上關係式都成立。

• ${\displaystyle [a,b]}$上的實函數${\displaystyle f}$是黎曼可積的，當且僅當它是有界和幾乎處處連續的。

• 如果${\displaystyle [a,b]}$上的實函數是黎曼可積的，則它是勒貝格可積的。

• 如果${\displaystyle {f_{n}}}$是${\displaystyle [a,b]}$上的一個均勻收斂序列，其極限為${\displaystyle f}$，那麼：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$

• 如果一個實函數在區間${\displaystyle [a,b],}$上是單調的，則它是黎曼可積的。

黎曼積分的推廣

黎曼積分可推廣到值屬於${\displaystyle n}$維空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的函數。積分是線性定義的，即如果${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\dots ,f_{n})}$，則${\displaystyle \int \mathbf {f} =(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n})}$。特別地，由於複數是實數向量空間，故值為複數的函數也可定義積分。

黎曼積分只定義在有界區間上，擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分，即如同反常積分（improper integral）一樣。我們可以令

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,dt.}$

不幸的是，這並不是很合適。平移不變性（如果把一個函數向左或向右平移，它的黎曼積分應該保持不變）喪失了。例如，令${\displaystyle f(x)=1}$若${\displaystyle x>0}$，${\displaystyle f(0)=0}$，${\displaystyle f(x)=-1}$若${\displaystyle x<0}$。則對所有${\displaystyle x}$

${\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t)\,dt=\int _{-x}^{0}f(t)\,dt+\int _{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0}$.

但如果我們將${\displaystyle f(x)}$向右平移一個單位得到${\displaystyle f(x-1)}$，則對所有${\displaystyle x>1}$，我們得到

${\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int _{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int _{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2}$.

由於這是不可接受的，我們可以嘗試定義：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}$

此時，如果嘗試對上面的${\displaystyle f}$積分，我們得到${\displaystyle +\infty }$，因為我們先使用了極限${\displaystyle b\to \infty }$。如果使用相反的極限順序，我們得到${\displaystyle -\infty }$。

這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令${\displaystyle f_{n}(x)=1/n}$在${\displaystyle [0,n]}$上，其它域上等於0。對所有${\displaystyle n}$，${\displaystyle \int f_{n}\,dx=1}$。但${\displaystyle f_{n}}$均勻收斂於0，因此${\displaystyle \lim f_{n}}$的積分是0。因此${\displaystyle \int f\,dx\not =\lim \int f_{n}\,dx}$。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。

一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。

事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分。

擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子${\displaystyle x_{i}-x_{i+1}}$，粗略地說，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法。

相關條目

• 不定積分
• 積分
• 勒貝格積分
• 黎曼－斯蒂爾傑斯積分
• 數值積分
• 達布積分
• 梯形公式

參考文獻

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.