typ relacji dwuczłonowej używany w matematyce i innych naukach Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja (łac.functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”[uwaga 1]), odwzorowanie[1][2], przekształcenie[3], transformacja[4] – pojęcie matematyczne używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach:
dla danych dwóch zbiorów i funkcją nazywano każde przyporządkowanie[uwaga 2] elementom zbioru po jednym elemencie zbioru [uwaga 3][5];
zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru [6]. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe.
Funkcje oznacza się na ogół literami itd. Jeśli funkcja przyporządkowuje elementom zbioru elementy zbioru to pisze się: W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć:
zbiór nazywa się dziedziną funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów[2], ponieważ jego każdy element nazywa się argumentem tej funkcji[2] lub zmienną niezależną;
zbiór to przeciwdziedzina tej funkcji lub jej zbiór wartości[2], przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element nazywa się wartością funkcji[2] lub zmienną zależną[7].
Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia[6]. Leonhard Euler w osiemnastym wieku był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia funkcji[10]. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach Lagrange’a. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak Cauchy, Fourier, Drichlet, czy Reimann[11].
Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki[6] i innych nauk ścisłych; funkcje:
Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru do zbioru oznacza się [2].
Definicja nazywana jest również definicją Bourbakiego[14] ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki[20]. Zauważmy że dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja staje się zbiorem. W literaturze definicja może różnić się kolejnością elementów np. albo . Spotyka się również wariant tej definicji w której używa się klas zamiast zbiorów[15].
Jeżeli zakładamy że funkcja jest surjekcją lub jeśli jest wygodne nie ustalanie przeciwdziedziny, wówczas można skorzystać z definicji redukującej funkcję tylko do wykresu funkcji tj. Często w literaturze wspomina się, że taka zredukowana definicja (wykres) jest pewną relacją binarną. Należy zauważyć że między ogólną definicją a zredukowaną istnieją poważne różnice[21]. Powyższa zredukowana definicja oraz pełna definicja Bourbakiego, są powszechnie używane w literaturze[20].
W tradycyjnej notacji zwykle rozdziela się definicję wykresu od dziedziny i przeciwdziedziny np.
Dana jest funkcja określona wzorem ,
tu najpierw podano dziedzinę i przeciwdziedzinę, a następnie osobno zdefiniowano wykres poprzez formułę określającą jak wyznaczyć (czyli ) dla danego by otrzymać parę Formalny zapis (którego zwykle się nie stosuje w praktyce) dla tego przykładu wyglądałby tak:
Jeżeli pomija się podanie dziedziny i przeciwdziedziny dla danej funkcji to oznacza, że należy wywieść te informacje z wykresu lub kontekstu – co często ma miejsce (i uzasadnia oddzielenie definicji wykresu w tradycyjnej notacji).
Przykład 1
Funkcje mające podobny wykres nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji o podobnym lub identycznym wykresie (gdzie to liczby rzeczywiste a to dodanie liczby rzeczywiste):
więc z definicji:
więc z definicji:
więc z definicji:
więc z definicji:
mamy: (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter: to suriekcja, to bijekcja, k to iniekcja.
Przykład 2
Poniżej kilka nietypowych/granicznych przypadków – kolumna po stronie lewej trójka f; w środku to interpretacja f jako funkcji w świetle formalnej definicji zapisana w tradycyjnej notacji; ostatnia kolumna to wyjaśnienie ( i to dowolne nie puste zbiory, to niepusty wykres)
Więcej informacji , ...
zbiór
tradycyjna notacja
wyjaśnienie
pusty wykres
dzedzina, przeciwdziedzina i wykres są zbiorami pustymi
to nie funkcja
jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty
pusty wykres
dziedzina i wykres są zbiorami pustymi
to nie funkcja
jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta
to nie funkcja
jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta
to nie funkcja
przeciwdziedzina nie może być zbiorem pustym, bo z definicji funkcji wynika, że dla każdego elementu niepustej dziedziny X musi istnieć dokładnie jeden element przeciwdziedziny.
to nie funkcja
jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty
Wykresem funkcji nazywa się zbiór Z definicji funkcji wynika, że dla każdego istnieje dokładnie jeden taki że Jeśli jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.
Jeżeli zakładamy, że funkcja jest suriekcją, to wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli to przy czym jest jedynym takim elementem.
Definicję relacyjną zaproponował Giuseppe Peano[2][23]; utożsamia ona funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości[potrzebnyprzypis].
W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze można zdefiniować działania arytmetyczne:
Dla funkcja przyjmuje dla każdego wartość
Dla funkcja przyjmuje dla każdego wartość
Dla funkcja przyjmuje dla każdego wartość
Dla i funkcja przyjmuje dla każdego wartość
Dla i funkcja przyjmuje dla każdego wartość
Funkcja jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia że dla każdego spełniona jest nierówność
Jeśli funkcja liczbowa przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste
to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych[24].
Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.
Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.
Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania [25].
Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:
Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.
Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:
albo w taki:
Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane[26].
Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru
– funkcja liniowa
– funkcja kwadratowa
– funkcja wielomianowa
– funkcja jawna zapisana jako uwikłana
– funkcja uwikłana (równanie okręgu)
Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi i gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru a druga przyjmuje wartości ze zbioru wtedy nazywa się zmienną niezależną, a – zmienną zależną[27][28]. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej Na przykład droga w ruchu jednostajnym o prędkości jest zależna od czasu ruchu i wyraża się wzorem:
W praktyce często się zdarza, że zbiór jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych Mówimy wtedy, że zmienna jest funkcją zmiennych Na przykład siła działająca na ciało jest zależna od masy ciała i jego przyspieszenia
W statyce: przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego masy oraz środka masy. Zgodnie z prawem Hooke’a siła nacisku lub naciągu jest proporcjonalna do odkształcenia ciała (dla odpowiednio małych wartości tych parametrów). To funkcje liniowe siebie nawzajem. Ich zależność opisują współczynnik sprężystości, moduł Younga i inne. Tarcie jest liniową funkcją siły nacisku.
W kinematyce: ruch ciał fizycznych opisywany jest przez wektor położenia lub przemieszczenia oraz skalary odległości lub drogi s. Wszystkie są funkcjami czasu. Ta pierwsza to tzw. trajektoria lub linia świata. Na ich podstawie są oparte inne funkcje czasu: prędkość i przyspieszenie.
W dynamice: pęd jest funkcją dwóch zmiennych: masy i prędkości, przy czym obydwie mogą być funkcjami czasu. Siła okazuje się pochodną pędu po czasie (II zasada dynamiki). Praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała, a energia może być zależna od różnych wielkości. Energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T
W bardziej zaawansowanej mechanice definiuje się też inne wielkości dynamiczne: lagranżjan, działanie i hamiltonian, które też są funkcjami mas, położeń i prędkości.
Liczne pola fizyczne: funkcje z przestrzeni lub czasoprzestrzeni w zbiór skalarów, wektorów, tensorów itp.
Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.
Temperatura i ciśnienie są też funkcją współrzędnych geograficznych i wysokości bezwzględnej,
średnia temperatura atmosfery ziemskiej jest od XX w. funkcją rosnącą – globalne ocieplenie.
Geografia społeczna, demografia i socjologia:
piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.
rozmaite parametry gospodarki: PKB, inflacja, dług publiczny, HDI itd. Można je traktować jako funkcje na zbiorze państw, a dla danego państwa: funkcje od czasu.
Dla funkcji można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru Jest to funkcja taka, że dla każdego Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f[29].
Jeżeli jest funkcją, a jest jej zawężeniem do zbioru to dla dowolnego zbioru mamy
Z drugiej strony, dla można przedłużyć funkcję zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję Można np. wymagać, by przedłużenie funkcji było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.
Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta[uwaga 4]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy[30] Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach[31]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n„dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”[uwaga 5][32]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.
Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:
Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych[33].
W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę zapisując argument jeszcze bez nawiasów Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.