Przyspieszenie

Przyspieszenie – wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie^[1][2].

Przyspieszenie

Rodzaj wielkości	wektorowa
Symbol	${\displaystyle {\vec {a}},}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,}$ ${\displaystyle a}$
Jednostka SI	m/s², m·s−2
W podstawowych jednostkach SI	${\displaystyle \mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$
Wymiar	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{T^{2}}} }$

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości^[3]. Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje, a przyspieszenie to jest wtedy nazywane opóźnieniem.

Definicja

Definicja przyspieszenia

Jeżeli dany wektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ określa położenie punktu materialnego, a wektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ określa prędkość tego punktu, to jego przyspieszenie ${\displaystyle {\vec {a}}}$ jest pochodną prędkości po czasie:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.}$

Ponieważ prędkość z kolei jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}.}$

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.

${\displaystyle [{\vec {a}}]=\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .}$

Związek z dynamiką

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ciała jest proporcjonalne do wypadkowej siły ${\displaystyle {\vec {F}}}$ działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała ${\displaystyle m.}$ Kierunek i zwrot przyspieszenia ${\displaystyle {\vec {a}}}$ pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły ${\displaystyle {\vec {F}}.}$ Wzór wyrażający tę zależność ma postać

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.}$

W ruchu prostoliniowym

W ruchu po linii prostej kierunek prędkości jest ustalony, więc można ją traktować tak jak wielkość skalarną. Wówczas przyspieszenie określa wzór:

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}.}$

W ruchu jednostajnie zmiennym

Gdy przyspieszenie jest stałe (${\displaystyle a=\mathrm {const} }$), wzór definicyjny przybiera postać

${\displaystyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}},}$

gdzie ${\displaystyle \Delta v}$ jest przyrostem prędkości w czasie ${\displaystyle \Delta t.}$

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym

Przyspieszenie styczne ${\displaystyle a_{t}}$ i normalne ${\displaystyle a_{n}}$

Jeżeli punkt porusza się po torze krzywoliniowym^[4], wówczas jego całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym (oznaczanym ${\displaystyle {\vec {a}}_{n}}$) i składową równoległą do toru, zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn. ${\displaystyle {\vec {a}}_{t}}$).

Wektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ przyspieszenia całkowitego jest sumą jego składowych – normalnej ${\displaystyle {\vec {a}}_{n}}$ i stycznej ${\displaystyle {\vec {a}}_{t}{:}}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{t}.}$

Składowe – styczna i normalna – są wzajemnie prostopadłe i dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:

${\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {|{\vec {a}}_{n}|^{2}+|{\vec {a}}_{t}|^{2}}}.}$

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

Osobny artykuł: Przyspieszenie dośrodkowe.

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości^[5]. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako ${\displaystyle v,}$ a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi ${\displaystyle r,}$ to wartość ${\displaystyle a_{n}}$ przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}.}$

Przyspieszenie styczne

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie ${\displaystyle v}$ dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie ${\displaystyle s}$ dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne ${\displaystyle a_{t}}$ określają wzory:

${\displaystyle a_{t}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.}$

Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie kątowe ciała jest wielkością opisującą jego ruch obrotowy, utworzoną analogicznie do przyspieszenia liniowego, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt ${\displaystyle \alpha ,}$ a ${\displaystyle \omega }$ oznacza jego prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego ${\displaystyle \varepsilon }$ określa wzór

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\quad [\varepsilon ]={\frac {1}{{\text{s}}^{2}}}.}$

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Niech współrzędne krzywoliniowe ${\displaystyle q_{1}(t),\,q_{2}(t),\,q_{3}(t)}$ tworzą układ współrzędnych w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}.}$ Oznaczmy przez ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}}$ wersory kierunków stycznych do osi tego układu^[1][6].

Jeżeli ${\displaystyle \mathbf {a} }$ jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}{\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}},\quad i=1,2,3.}$

(1)

Ponieważ

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}}$

zatem

${\displaystyle a_{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\right)-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{i}}}\right].}$

(2)

Na podstawie wzoru dla prędkości

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}$

(3)

mamy

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

(4)

i dzięki temu

${\displaystyle \mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

(5)

Mamy również

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}$

(6)

oraz

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{2}q_{1}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{3}q_{1}}}{\dot {q}}_{3}.}$

(7)

Z porównania prawych stron (5) i (6) wynika, że

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}},\quad i=1,2,3.}$

(8)

Mamy zatem

${\displaystyle \mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}.}$

(9)

Po podstawieniu (5) i (9) do (2) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów ${\displaystyle a_{i}}$ wektora przyspieszenia ${\displaystyle \mathbf {a} }$ na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right],\quad i=1,2,3.}$

(9)

Pomiar

Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany przyspieszeniomierzem lub akceleromierzem czy akcelerometrem.

Zobacz też

• grawitacja
• przyspieszenie grawitacyjne
• przyspieszenie ziemskie

Przypisy

1. G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.
2. przyspieszenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-15].
3. J. Awrejcewicz, Mechanika techniczna i teoretyczna, Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2011.
4. M. Paluch, Mechanika teoretyczna, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2006.
5. R. Janiczek, Mechanika teoretyczna, Cz. 1, 2, 3, Wyd. Politechniki Śląskiej, Częstochowa 1979.
6. Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретической механики, Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954.

Kontrola autorytatywna (wielkość fizyczna):

• LCCN: sh85000344
• GND: 4144870-4
• BnF: 11978022j
• BNCF: 8645
• J9U: 987007292957505171
• BNC: 000000074, 000000075

Encyklopedie internetowe:

• Britannica: science/acceleration
• Treccani: accelerazione
• NE.se: acceleration
• SNL: akselerasjon
• DSDE: acceleration