Układ współrzędnych

Układ współrzędnych – odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przypisujące każdemu punktowi przestrzeni ${\displaystyle R^{n}}$ skończony ciąg (n-krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu ${\displaystyle \mathbf {x} \in R^{n}}$^[1][2].

Prawoskrętny układ współrzędnych

Do określenia układu współrzędnych potrzebne jest

1. ustalenie punktu początkowego ${\displaystyle O}$ (O, ang. origin), tzw. początku układu,
2. ustalenie bazy wektorów przestrzeni ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}\},}$ za pomocą których można wyrazić wektory wodzące ${\displaystyle {\vec {OP}}}$ punktów ${\displaystyle P}$ przestrzeni jako kombinacje liniowe wektorów bazy, tj. ${\displaystyle {\vec {OP}}=a_{1}{\vec {e}}_{1}+a_{2}{\vec {e}}_{2}+\ldots +a_{n}{\vec {e}}_{n}.}$

Współczynniki ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.

W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy oś liczbową.

Przykład osi liczbowej

Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni

Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:

1. dla przestrzeni 1-wymiarowej, np. prostej, okręgu, elipsy itp. wystarczy 1 współrzędna,
2. dla przestrzeni 2-wymiarowej – płaszczyzny ${\displaystyle R^{2},}$ sfery (powierzchni kuli) itp. potrzebne są 2 współrzędne,
3. dla przestrzeni 3-wymiarowej – przestrzeni ${\displaystyle R^{3},}$ kuli itp. potrzebne są 3 współrzędne,
4. dla przestrzeni Euklidesowych n-wymiarowych potrzeba n współrzędnych,
5. dla rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, lokalnie homeomorficznej z daną rozmaitością.

W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych, np.

1. dla punktów okręgu wystarczy podać jedną współrzędną biegunową ${\displaystyle \phi ,}$
2. dla punktów sfery wystarczy podać dwie współrzędne sferyczne ${\displaystyle \phi ,\theta ,}$
3. dla punktów kuli wystarczy podać trzy współrzędne prostokątne ${\displaystyle x,y,z}$ lub sferyczne ${\displaystyle r,\phi ,\theta .}$

Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu ${\displaystyle r}$ zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych ${\displaystyle x,y,z,}$ przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

Uogólnienia

(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się

• układy skośne, w których linie współrzędnych nie są wzajemnie prostopadłe,
• układy krzywoliniowe, w których linie współrzędnych nie są liniami prostymi.

(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.

Rodzaje układów współrzędnych

• układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątnych)
• układ współrzędnych biegunowych (polarnych)
• układ współrzędnych walcowych (cylindrycznych)
• układ współrzędnych sferycznych
  • układ współrzędnych astronomicznych
    • układ współrzędnych horyzontalnych
    • układ współrzędnych równikowych
      • układ współrzędnych równikowych godzinnych
      • układ współrzędnych równikowych równonocnych
    • układ współrzędnych galaktycznych
    • układ współrzędnych supergalaktycznych
  • układ współrzędnych geograficznych
  • układ współrzędnych geodezyjnych (elipsoidalnych)
    • układ współrzędnych 1942
    • układ współrzędnych 1965
    • układ współrzędnych 1992
    • układ współrzędnych 2000

Zobacz też

• państwowy system odniesień przestrzennych
• transformacja współrzędnych
• układ odniesienia
• układ wysokościowy