Kula

Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa kula.

Definicja intuicyjna

Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)[1].

Definicja formalna

Kula w danej przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,\rho )}$ – zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

${\displaystyle {\overline {K}}_{c,r}=\{p:\rho (p,c)\leqslant r\}}$

dla pewnych ${\displaystyle c\in X,\ r>0,}$ które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

W wielu źródłach^[2][3][4] tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:

${\displaystyle K_{c,r}=\{p:\rho (p,c)<r\}.}$

Informacja ogólna

Kula w przestrzeni euklidesowej

Kula o środku ${\displaystyle P(2;1{,}5)}$ i promieniu ${\displaystyle r=1}$ w metryce Manhattan na zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne ${\displaystyle (x,y,z)}$ spełniają nierówność:

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leqslant r^{2},}$

gdzie ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ są współrzędnymi środka kuli, a ${\displaystyle r}$ oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:

${\displaystyle r(\alpha ,\beta )\leqslant r\;{}}$ dla ${\displaystyle {}\,\alpha \in [-\pi ,\pi ),\beta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}$

W ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie ${\displaystyle (s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})}$ i promieniu ${\displaystyle r}$ to zbiór punktów ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ których współrzędne spełniają nierówność:

${\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.}$

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

${\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant r.}$

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór ${\displaystyle \{G,H,I\}}$ – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest ${\displaystyle H.}$

Związane pojęcia

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej

• Objętość ${\displaystyle n}$-wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu ${\displaystyle r}$ dana jest wzorem ${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\cdot r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\pi ^{k}}{k!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k,\\[2ex]\displaystyle {\frac {2^{k}\pi ^{k-1}}{n!!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k-1,\end{cases}}}$

• „Pole” ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowe jej (hiper)powierzchni ${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{r}}\,V_{n}.}$
• Objętość 3-wymiarowej kuli: ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\approx 4{,}19\ r^{3}.}$^[5]
• Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: ${\displaystyle S=4\pi r^{2}\approx 12{,}6\ r^{2}.}$^[5]

W powyższych wzorach ${\displaystyle \pi \approx 3{,}14159265}$ jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś ${\displaystyle \Gamma }$ oznacza funkcję gamma. Pomimo że funkcja gamma jest niezdefiniowana dla niedodatnich liczb całkowitych, uogólnione objętości i powierzchnie ${\displaystyle n}$-wymiarowych hiperkul to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego ${\displaystyle n\in \mathbb {C} }$. Są one zatem zdefiniowane w każdym wymiarze^[6][7].

Uwaga: Brzegiem ${\displaystyle n}$-wymiarowej kuli jest ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też

Zobacz hasło kula w Wikisłowniku

• czasza kuli (odcinek kuli)
• hiperkula
• sfera
• warstwa kulista
• wycinek kuli
• kula ziemska

Przypisy

1. kula, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-19].
2. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, s. 149. ISBN 83-204-2334-1.
3. Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 34, 38, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 38.
4. Witold Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, s. 20, 21, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 36.
5. Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0.
6. SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Novel Recurrence Relations for Volumes and Surfaces of n-Balls, Regular n-Simplices, and n-Orthoplices in Real Dimensions, t. 10, Mathematics, 2022, s. 2212, DOI: 10.3390/math10132212.
7. SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Omnidimensional Convex Polytopes, t. 15, Symmetry, 2023, s. 755, DOI: 10.3390/sym15030755.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ball, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-01].
• Ball (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].