Hiperkula

Hiperkula – zwyczajowa nazwa uogólnienia kuli w ${\displaystyle n}$-wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Tak więc hiperkulą może być nazwane zarówno dwuwymiarowe koło, jak i trój-, cztero- lub pięciowymiarowa kula; jednak pojęcia tego używa się najczęściej dla cztero- lub więcej wymiarowych kul.

Wygląd hiperkuli

Rzut na płaszczyznę siatki pokrywającej hiperkulę czterowymiarową

Wyobrażenie sobie wielowymiarowej (cztero-, pięcio-, lub więcej) hiperkuli jest trudne dla człowieka, ponieważ przestrzeń z czterema lub większą liczbą wymiarów leży poza granicami ludzkiej, trójwymiarowej percepcji. Można narysować rzut hiperkuli na płaszczyznę, lub ewentualnie skonstruować rzut na przestrzeń trójwymiarową – dostajemy jednak wówczas odpowiednio zwykłe koło i zwykłą kulę. Można też pokryć powierzchnię hiperkuli siatką (odpowiadającą siatce równoleżników i południków na kuli) i narysować jej rzut. Uzyskujemy wówczas rysunek taki jak obok.

W przypadku przekrojenia hiperkuli, w miejscu przecięcia zobaczymy kulę (analogicznie do przekrojenia kuli, gdy w miejscu przecięcia widzimy koło).

Definicja formalna

Hiperkulą o środku w punkcie ${\displaystyle S=(s_{1},\dots ,s_{n})}$ i promieniu długości ${\displaystyle r}$ nazywamy zbiór punktów przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ spełniających nierówność

${\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.}$

Brzegiem hiperkuli jest zbiór punktów przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ spełniających równanie

${\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}=r^{2}.}$

Zbiór ten nazywamy hipersferą. Hipersfera będąca brzegiem kuli ${\displaystyle n}$-wymiarowej jest obiektem ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowym, podobnie jak brzeg dwuwymiarowego koła jest obiektem jednowymiarowym – krzywą zwaną okręgiem.

Wzory

Wzór jawny

${\displaystyle n}$-wymiarową objętość ${\displaystyle n}$-wymiarowej hiperkuli o promieniu ${\displaystyle r}$ można obliczyć ze wzoru:

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\cdot r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\pi ^{k}}{k!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k,\\[2ex]\displaystyle {\frac {2^{k}\pi ^{k-1}}{n!!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k-1,\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle \Gamma }$ oznacza funkcję gamma, ${\displaystyle \pi }$ to stała matematyczna wynosząca ${\displaystyle \pi \approx 3{,}141593,}$ zaś symbol ${\displaystyle n!!}$ oznacza silnię podwójną. Wraz ze wzrostem liczby wymiarów, hiperkula wypełnia coraz mniejszą część hipersześcianu, w który jest wpisana. Stosunek ich objętości maleje do zera, gdy ${\displaystyle n}$ dąży do nieskończoności.

${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowa powierzchnia hiperkuli jest związana prostym wzorem z jej objętością:

${\displaystyle S_{n}={\frac {nV_{n}}{r}}.}$

Wzór rekurencyjny

${\displaystyle n}$-wymiarową objętość ${\displaystyle n}$-wymiarowej hiperkuli można policzyć, całkując odpowiednio ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarową hiperkulę, przy czym 0-wymiarowa hiperkula jest punktem o objętości równej 1, co jest warunkiem brzegowym tego wzoru.

${\displaystyle V_{n}(r)={\begin{cases}\displaystyle 1&{\text{dla }}n=0,\\[2ex]\displaystyle \int \limits _{-r}^{r}\,V_{n-1}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})dx&{\text{dla }}n>0.\end{cases}}}$

Dla kolejnych ${\displaystyle n}$-wymiarowych hiperkul objętość wynosi:

n	Wzór na uogólnioną objętość (Vn):
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle V_{0}=1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle V_{1}=2\cdot r}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle V_{2}=\pi \cdot r^{2}\simeq 3{,}14159265\cdot r^{2}}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle V_{3}={\frac {4}{3}}\pi \cdot r^{3}\simeq 4{,}1887902\ \cdot r^{3}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle V_{4}={\frac {\pi ^{2}}{2}}\ \cdot r^{4}\simeq 4{,}9348022\cdot r^{4}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle V_{5}={\frac {8\cdot \pi ^{2}}{15}}\cdot r^{5}\simeq 5{,}263789\cdot r^{5}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle V_{6}={\frac {\pi ^{3}}{6}}\cdot r^{6}\simeq 5{,}1677128\cdot r^{6}}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle V_{7}={\frac {16\cdot \pi ^{3}}{105}}\cdot r^{7}\simeq 4{,}724766\cdot r^{7}}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle V_{8}={\frac {\pi ^{4}}{24}}\cdot r^{8}\simeq 4{,}0587121\cdot r^{8}}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle V_{9}={\frac {32\cdot \pi ^{4}}{945}}\cdot r^{9}\simeq 3{,}2985089\cdot r^{9}}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle V_{10}={\frac {\pi ^{5}}{120}}\cdot r^{10}\simeq 2{,}550164\cdot r^{10}}$
${\displaystyle 11}$	${\displaystyle V_{11}={\frac {64\cdot \pi ^{5}}{10395}}\cdot r^{11}\simeq 1{,}8841039\cdot r^{11}}$
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle V_{12}={\frac {\pi ^{6}}{720}}\cdot r^{12}\simeq 1{,}3352628\cdot r^{12}}$
${\displaystyle 13}$	${\displaystyle V_{13}={\frac {128\cdot \pi ^{6}}{135135}}\cdot r^{13}\simeq 0{,}9106288\cdot r^{13}}$
${\displaystyle 14}$	${\displaystyle V_{14}={\frac {\pi ^{7}}{5040}}\cdot r^{14}\simeq 0{,}5992645\cdot r^{14}}$
${\displaystyle 15}$	${\displaystyle V_{15}={\frac {256\cdot \pi ^{7}}{2027025}}\cdot r^{15}\simeq 0{,}38144328\cdot r^{15}}$
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle V_{16}={\frac {\pi ^{8}}{40320}}\cdot r^{16}\simeq 0{,}23533063\cdot r^{16}}$
${\displaystyle 17}$	${\displaystyle V_{17}={\frac {512\cdot \pi ^{8}}{34459425}}\cdot r^{17}\simeq 0{,}140981107\cdot r^{17}}$
${\displaystyle 18}$	${\displaystyle V_{18}={\frac {\pi ^{9}}{362880}}\cdot r^{18}\simeq 0{,}0821459\cdot r^{18}}$
${\displaystyle 19}$	${\displaystyle V_{19}={\frac {1024\cdot \pi ^{9}}{654729075}}\cdot r^{19}\simeq 0{,}0466216\cdot r^{19}}$
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle V_{20}={\frac {\pi ^{10}}{3628800}}\cdot r^{20}\simeq 0{,}02580689\cdot r^{20}}$
${\displaystyle 2m}$	${\displaystyle V_{2m}={\frac {\pi ^{m}}{m!}}\cdot r^{2m}}$
${\displaystyle 2m+1}$	${\displaystyle V_{2m+1}={\frac {2^{2m+1}\cdot m!\cdot \pi ^{m}}{(2m+1)!}}\cdot r^{2m+1}}$
${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {V_{n}}{r^{n}}}\ =0}$