Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt ${\displaystyle O}$ zwany biegunem oraz półprostą ${\displaystyle OS}$ o początku w punkcie ${\displaystyle O}$ zwaną osią biegunową.

Definicja

Każdemu punktowi ${\displaystyle P}$ płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje^[1]:

• promień wodzący punktu ${\displaystyle P}$ to jego odległość ${\displaystyle |OP|}$ od bieguna,
• amplituda punktu ${\displaystyle P}$ to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą ${\displaystyle OS}$ a wektorem ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna ${\displaystyle O}$ są równe ${\displaystyle (0,0).}$ O amplitudzie możemy zakładać, że ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$ (niektórzy autorzy przyjmują ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$).

Rys historyczny

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku.

• W XVII w. Bonaventura Cavalieri^[2] użył współrzędnych biegunowych, aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego pierwszym „obrotem” spirali Archimedesa.
• W 1647 Grégoire de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
• W 1658 Blaise Pascal używał układu biegunowego do wyznaczenia długości łuków krzywych.
• W 1661 James Gregory, szkocki matematyk, użył podobnej metody.
• Isaac Newton^[3] dyskutował różne układy współrzędnych, m.in. używał układu biegunowego.
• Jakob Bernoulli używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych. Uważa się go za twórcę biegunowego układu współrzędnych we współczesnej formie.

Według Juliana Coolidge’a (amerykański matematyk i historyk Uniwersytetu Harvarda)^[4] pierwszeństwo w stosowaniu układu biegunowego należy przyznać Cavalierierimu albo Saint-Vincentemu.

Związek z układem kartezjańskim

Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański ${\displaystyle OXY}$ oraz układ biegunowy z biegunem ${\displaystyle O}$ i osią biegunową ${\displaystyle OX.}$

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego ${\displaystyle r\geqslant 0}$ i amplitudy ${\displaystyle \varphi \in [0,2\pi )}$ punktu ${\displaystyle P,}$ jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami^[5][6]:

${\displaystyle {\begin{cases}x(r,\varphi )=r\cdot \cos \varphi ,\\y(r,\varphi )=r\cdot \sin \varphi .\end{cases}}}$

Jakobian przejścia wynosi

${\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{matrix}}\right|}$ ${\displaystyle =r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.}$

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego

Dla punktu ${\displaystyle P}$ o współrzędnych kartezjańskich ${\displaystyle (x,y)}$ promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa^[6][7]:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Jeśli ${\displaystyle r\neq 0}$ i ${\displaystyle x\neq 0,}$ to z definicji funkcji tangens:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\varphi ={\tfrac {y}{x}}}$^[7],

zatem amplituda ${\displaystyle \varphi }$ tego punktu jest dana wzorem^[8]:

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \;\left({\tfrac {y}{x}}\right)}$

(o ile dopuszczamy ujemne wartości ${\displaystyle \varphi }$).

Natomiast aby otrzymać ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}$ należy rozważyć następujące przypadki:

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}}),&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y\geqslant 0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+2\pi ,&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y<0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+\pi ,&{\mbox{gdy }}x<0\\{\tfrac {\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y>0\\{\tfrac {3\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y<0\end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {arctg} }$ oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$ można ten zapis uprościć do

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\tfrac {x}{r}}\right)\;\operatorname {sgn}(y),}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ oznacza funkcję signum.

Równania biegunowe krzywych algebraicznych

Krzywą algebraiczną nazywa się krzywą płaską, której równanie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest wielomianem ${\displaystyle W(x,y)}$

zmiennych ${\displaystyle x,y.}$ Stopniem krzywej algebraicznej – to maksymalny stopień wszystkich składników wielomianu postaci ${\displaystyle x^{i}y^{j}.}$

Równaniami biegunowymi krzywych nazywa się równania krzywych algebraicznych zapisane w układzie biegunowym. Dla wielu krzywych równania te cechuje szczególna symetria lub prostota.

Okrąg o równaniu ${\displaystyle r(\varphi )=1}$

Okrąg

Okrąg o środku w punkcie ${\displaystyle (r_{0},\varphi _{0})}$ i promieniu ${\displaystyle a>0}$ jest opisany przez równanie

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

Okrąg jest krzywą algebraiczną 2-go stopnia. Gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, to równanie okręgu przybiera szczególnie prostą postać

${\displaystyle r=a.}$

Róża

Róża o równaniu ${\displaystyle r(\varphi )=2\sin(4\varphi )}$

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

${\displaystyle r=a\cos(k\varphi +\varphi _{0}),}$

gdzie ${\displaystyle \varphi _{0}}$ jest dowolną stałą, ${\displaystyle a}$ jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a ${\displaystyle k}$ jest parametrem wyznaczającym liczbę i formę „płatków” róży.

Jeśli ${\displaystyle k}$ jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała ${\displaystyle k}$ płatków, a jeśli ${\displaystyle k}$ jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała ${\displaystyle 2k}$ płatków. Dla innych wartości ${\displaystyle k}$ kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu ${\displaystyle r(\varphi )=\varphi }$ dla ${\displaystyle 0<\varphi <6\pi }$

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

${\displaystyle r=a+b\varphi .}$

Parametry ${\displaystyle a,b}$ w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana ${\displaystyle a}$ spowoduje obrócenie krzywej, a wartość ${\displaystyle b}$ wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0},}$

gdzie ${\displaystyle \varphi _{0}}$ to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej i przecina ją w punkcie ${\displaystyle (r_{0},\varphi _{0}),}$ zadana jest przez równanie

${\displaystyle r=r_{0}\sec(\varphi -\varphi _{0}).}$

Krzywe stożkowe

Elipsa z zaznaczonym parametrem ${\displaystyle p}$ („semilatus rectum” – zielony kolor)

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać w układzie współrzędnych biegunowych prostym równaniem (gdy jedno z ognisk pokrywa się z biegunem ${\displaystyle O}$ układu, a drugie ognisko leży na osi biegunowej ${\displaystyle OS}$):

${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }},}$

gdzie:

• ${\displaystyle r,\varphi }$ – współrzędne biegunowe punktu krzywej,
• ${\displaystyle e}$ – mimośród, decydujący o typie krzywej (${\displaystyle e=0}$ – okrąg, ${\displaystyle 0<e<1}$ – elipsa, ${\displaystyle e=1}$ – parabola, ${\displaystyle e>1}$ – hiperbola),
• ${\displaystyle p}$ – parametr krzywej równy połowie długości cięciwy, która przechodzi przez jej ognisko i jest równoległa do jej kierownicy (por. rysunek – nosi on łacińską nazwę semilatus rectum oznaczającego połowę odcinka).

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji

Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) i promieniami φ = a oraz φ = b.

Pole powierzchni ${\displaystyle S}$ ograniczonej wykresem funkcji ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ i promieniami ${\displaystyle \varphi =a}$ oraz ${\displaystyle \varphi =b}$ (por. rysunek) oblicza się sumując jej infinitezymalne wycinki kołowe ${\displaystyle dS{:}}$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}dS(\varphi )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r^{2}(\varphi )d\varphi }$

tj. pole powierzchni jest połową całki z kwadratu funkcji ${\displaystyle r=r(\varphi ),}$ ograniczonej kątami ${\displaystyle \varphi =a}$ oraz ${\displaystyle \varphi =b.}$

Dowód:

Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) jest przybliżana za pomocą n trójkątów równoramiennych (tu n = 5).

Pole pod krzywą można przybliżyć za pomocą wycinków kołowych o środku w biegunie ${\displaystyle O}$ (por. rysunek). Niech ${\displaystyle d\varphi =(b-a)/n}$ oznacza miarę kąta każdego wycinka wyrażoną w radianach, gdzie ${\displaystyle n}$ – liczba podziału przedziału kątowego ${\displaystyle [a,b]}$ na równe części; niech ${\displaystyle \varphi _{i}}$ będzie kątem środkowym ${\displaystyle i}$ -tego wycinka, ${\displaystyle i=1,2,...,n;}$ każdy z wycinków ma odpowiednio promień ${\displaystyle r(\varphi _{i}),}$ kąt środkowy ${\displaystyle d\varphi }$ i długość łuku ${\displaystyle r(\varphi _{i})d\varphi .}$ Powierzchnia każdego wycinka jest zatem równa:

${\displaystyle dS=\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {d\varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}d\varphi }$

Sumaryczne pole wszystkich wycinków dane jest wzorem:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi }$

Zwiększając liczbę podziałów ${\displaystyle n}$ pola pod krzywą otrzymujemy coraz mniejsze katy ${\displaystyle d\varphi }$ i polepsza się przybliżenie. Dla ${\displaystyle n\to \infty }$ mamy ${\displaystyle d\varphi \to 0}$ – powyższa suma przechodzi w całkę Riemanna:

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}dS(\varphi )=\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r^{2}(\varphi )d\varphi ,}$ cnd.

Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych

Długość łuku ${\displaystyle L}$ (tj. długość wycinka) krzywej zdefiniowanej za pomocą funkcji biegunowej ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ oblicza się sumując wzdłuż krzywej infinitezymalne jej fragmenty ${\displaystyle dl{:}}$

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}dl(\varphi )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }$

gdzie ${\displaystyle \varphi =a}$ oraz ${\displaystyle \varphi =b}$ oznaczają współrzędne kątowe odpowiednio punktu początkowego i końcowego łuku krzywej; ${\displaystyle {\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\equiv r'(\varphi )}$ – pochodna zmiennej ${\displaystyle r(\varphi )}$ po ${\displaystyle \varphi .}$

Dowód:

(1) Wyprowadzenie wzoru na długość łuku różniczkowego krzywej

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji ${\displaystyle r}$ można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami ${\displaystyle O}$ znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q,}$ są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia ${\displaystyle |OP|}$ wynosi ${\displaystyle r(\varphi ),}$ drugiego ${\displaystyle |OQ|{:}}$ ${\displaystyle r(\varphi +d\varphi )=r(\varphi )+dr(\varphi )}$ dla argumentu ${\displaystyle \varphi ,}$ długość podstawy ${\displaystyle |PQ|}$ jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako ${\displaystyle dL,}$ zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami ${\displaystyle (POQ)}$ wynosi ${\displaystyle d\varphi ,}$ gdzie ${\displaystyle d\varphi \to 0}$ jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu ${\displaystyle OQ}$ umieszczamy punkt ${\displaystyle R,}$ który dzieli to ramię w ten sposób, że ${\displaystyle |OR|=|OP|=r(\varphi ),}$ zaś ${\displaystyle |RQ|=dr(\varphi ).}$ W ten sposób podzieliliśmy trójkąt ${\displaystyle OPQ}$ na 2 mniejsze: równoramienny ${\displaystyle OPR}$ (o podstawie ${\displaystyle PR}$) i ${\displaystyle PQR.}$ Kąt ${\displaystyle ORP}$ oznaczmy jako ${\displaystyle \gamma ,}$ zaś kąt ${\displaystyle PRQ}$ – jako ${\displaystyle \delta .}$ Kąty ${\displaystyle d\varphi }$ i ${\displaystyle \gamma }$ znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa ${\displaystyle \pi {:}}$

${\displaystyle 2\gamma +d\varphi =\pi ,}$

${\displaystyle 2\gamma =\pi -d\varphi ,}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {\pi -d\varphi }{2}}.}$

Ponieważ ${\displaystyle d\varphi \to 0,}$ więc:

${\displaystyle \gamma \to {\frac {\pi }{2}}.}$

Kąty ${\displaystyle \gamma }$ i ${\displaystyle \delta }$ są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa ${\displaystyle \pi {:}}$

${\displaystyle \gamma +\delta =\pi ,}$

${\displaystyle \delta =\pi -\gamma =\pi -{\frac {\pi -d\varphi }{2}}={\frac {\pi +d\varphi }{2}}.}$

Ponieważ ${\displaystyle d\varphi \to 0,}$ więc:

${\displaystyle \delta \to {\frac {\pi }{2}}.}$

Skoro kąt ${\displaystyle \delta }$ znajduje się w trójkącie ${\displaystyle PQR,}$ to trójkąt ten staje się prostokątny, a skoro tworzą go boki ${\displaystyle PQ,}$ ${\displaystyle PR}$ i ${\displaystyle QR,}$ to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

${\displaystyle |PQ|^{2}=|PR|^{2}+|QR|^{2},}$

${\displaystyle dL^{2}=|PR|^{2}+dr^{2}(\varphi ).}$

Długość podstawy ${\displaystyle |PR|}$ można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

${\displaystyle |PR|^{2}=r^{2}(\varphi )+r^{2}(\varphi )-2r(\varphi )r(\varphi )\cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )-2r^{2}(\varphi )\cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )(1-\cos(d\varphi )).}$

Stąd:

${\displaystyle dL^{2}=2r^{2}(\varphi )(1-\cos(d\varphi ))+dr^{2}(\varphi )=\left(2r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {1-\cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+\left({\frac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2}}$

Ponieważ ${\displaystyle \lim _{d\varphi \to 0}{\frac {1-\cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{2}},}$ to:

${\displaystyle dL^{2}=\left(({\cancel {2}}r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1}{\cancel {2}}}+\left({\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2},}$

gdzie ${\displaystyle {\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\equiv r'(\varphi )}$ staje się pochodną ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ po ${\displaystyle \varphi }$ dla ${\displaystyle d\varphi \to 0.}$ Różniczka łuku ${\displaystyle dL}$ wykresu funkcji ${\displaystyle r}$ w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się więc wzorem:

${\displaystyle dL(\varphi )={\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi }$

(2) Długość łuku ${\displaystyle L}$ wykresu funkcji ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ wyraża się zatem wzorem:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}dL(\varphi )=\int _{a}^{b}{\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi ,}$ cnd.

Liczby zespolone – użyteczność postaci biegunowej

Przedstawienie liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej

Każda liczba zespolona ${\displaystyle z}$ może być przedstawiana jako punkt na płaszczyźnie zespolonej, z zastosowaniem różnych układów współrzędnych:

(1) w układzie współrzędnych kartezjańskich

${\displaystyle z=x+iy,}$

gdzie: ${\displaystyle i}$ – jednostka urojona, ${\displaystyle x,y}$ – współrzędne kartezjańskie punktu

(2) w układzie współrzędnych biegunowych (tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej)

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$

gdzie: ${\displaystyle r}$ – współrzędna radialna nazywana tu modułem liczby ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle \varphi }$ – współrzędna kątowa nazywana jej argumentem. Postać trygonometryczną liczby zespolonej można przekształcić do postaci wykładniczej

${\displaystyle z=re^{i\varphi },}$

gdzie ${\displaystyle e}$ to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest znacznie proste, niż w postaci kartezjańskiej (por. działania na liczbach zespolonych), tj.

a) mnożenie

${\displaystyle r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})},}$

b) dzielenie

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})},}$

c) potęgowanie

${\displaystyle (re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta },}$

d) pierwiastkowanie (pierwiastek główny)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{\frac {i\varphi }{n}}}$

Zobacz też

Inne układy współrzędnych:

• współrzędne cylindryczne
• współrzędne sferyczne
• współrzędne uogólnione
• współrzędne krzywoliniowe

Szczególne układy współrzędnych:

• współrzędne astronomiczne
• współrzędne galaktyczne
• współrzędne geodezyjne
• współrzędne geograficzne

Inne:

• długość krzywej