Argument liczby zespolonej

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną ${\displaystyle z}$ na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: ${\displaystyle {\mbox{arg}}(z).}$

Argument główny liczby zespolonej

Ten diagram Arganda reprezentuje liczby zespolone leżące na płaszczyźnie. Dla każdego punktu na płaszczyźnie ${\displaystyle \arg }$ jest funkcją, która zwraca kąt φ.

Dwie opcje argumentu φ

Główną wartością ${\displaystyle \arg }$ niebieskiego punktu ${\displaystyle 1+i}$ jest ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność ${\displaystyle 2\pi .}$ Argument sprowadzony do przedziału ${\displaystyle [0,2\pi )}$^[1][2][3], lub ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$^[4][5], nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie:${\displaystyle {\mbox{Arg}}(z).}$

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej^[6]:

${\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi ),}$

gdzie ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|}$ jest modułem liczby zespolonej, a ${\displaystyle \phi }$ jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{gdy }}a>0\\\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi ,&{\mbox{gdy }}a<0\end{cases}}}$

Dla liczb urojonych, ${\displaystyle z=bi{:}}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b>0\\-{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b<0\end{cases}}}$

Dla liczby ${\displaystyle z=0,}$ argument jest nieokreślony.

Niech ${\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )}$ oraz niech ${\displaystyle c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi ),}$ wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

• ${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi ))}$
• ${\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {r}{\rho }}(\cos(\phi -\psi )+i\sin(\phi -\psi ))}$

Przypisy

1. Andrzej Mostowski, Marceli Stark, Elementy algebry wyższej.
2. Bogdan Miś, Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki.
3. Reinhardt, Soeder, Atlas matematyki.
4. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Complex Argument, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
5. Encyklopedia szkolna – Matematyka.
6. argument liczby zespolonej, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-10].