Loading AI tools
zaokrąglenie liczb odpowiednio w górę i w dół Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Podłoga i sufit (ang. floor and ceiling) – funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.
Podłoga, część całkowita, cecha lub entier liczby rzeczywistej oznaczana lub to największa liczba całkowita nie większa od [1]. Symbolicznie:
Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od Liczbę tę oznaczamy symbolem Symbolicznie:
Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej nazywa się liczbę Oznacza się ją (nie należy mylić z identycznie zapisywanym zbiorem jednoelementowym)
W informatyce pojęcia cechy i mantysy są rozumiane inaczej, zob. Notacja naukowa i Liczba zmiennoprzecinkowa.
Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], dla cechy i {·} dla mantysy.
Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Kennetha E. Iversona[2][3], który zaproponował oznaczenie dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit).
Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:
Ponadto
przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:
Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.
Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:
Ponadto:
Część ułamkowa należy zawsze do przedziału tzn.
dla dowolnej liczby rzeczywistej
Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako gdzie jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.
Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym
Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:
o ile funkcja jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.
Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.
Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:
Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału
Mantysa logarytmów liczb postaci (gdzie jest całkowite) wynosi np.:
Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.