Liczby naturalne

Liczby naturalne – podstawowy typ liczb, rozumiany dwojako^[1][2]:

• w sensie szerszym są to moce zbiorów skończonych: 0, 1, 2...;
• w sensie węższym są to moce niepustych zbiorów skończonych: 1, 2, 3...

Półprosta przedstawiająca liczby naturalne z zerem (0) – wariant osi liczbowej

Pogrubiona, duża litera N – standardowy symbol zbioru liczb naturalnych.

Liczby te opisują liczności i kolejności, przez co odpowiadają liczebnikom głównym i porządkowym. Dodatnie liczby naturalne są używane przez ludzi od prehistorii i częściowo też przez inne gatunki zwierząt^[3], a do ich zapisu wprowadzono cyfry. Czasy historyczne przyniosły dalszy rozwój matematyki, w tym rozumienia liczb naturalnych:

• pojęcie zera;
• efektywny zapis – systemy pozycyjne, a potem też notację wykładniczą służącą m.in. do dużych liczb naturalnych oraz strzałkową do jeszcze większych;
• ścisłe definicje, oparte na teorii mnogości.

Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathbb {N} }$^[1]. Jest przedmiotem badań różnych działów matematyki jak arytmetyka – elementarna, wyższa i modularna – oraz kombinatoryka, inne obszary matematyki dyskretnej, algebra i metamatematyka. Liczbami naturalnymi definiuje się inne struktury jak:

• liczby całkowite, konstruowane z nich liczby wymierne, rzeczywiste i ich dalsze uogólnienia;
• ciągi – są to funkcje, których dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych^[4];
• zbiory przeliczalne^[5][6].

Nazewnictwo i oznaczenia

Termin liczby naturalne pojawił się w pewnej postaci w XV wieku, a w XVIII wieku stał się powszechny, występując m.in. w Encyklopedii Britannica^[7]. Najpóźniej w XIX wieku pojawiło się włączanie zera do tego zbioru^[7]. Odtąd wśród matematyków występują różne konwencje^[8]:

• starszego znaczenia, bez zera, używają m.in. Wacław Sierpiński^[9] i Aleksander Ivić^[10];
• nowszego znaczenia, z zerem, używali m.in.:
  • John von Neumann – jego model liczb naturalnych w teorii mnogości, opisany w dalszej sekcji, opiera się na zbiorze pustym ${\displaystyle \emptyset }$ utożsamianym z zerem;
  • John Horton Conway^[7];
  • polskie szkolnictwo – konwencję tę stosują edukacyjne strony WWW prowadzone przez Ministerstwo Edukacji Narodowej (MEN)^[11][12] oraz podręczniki szkolne zatwierdzone przez ministerstwo^[13].

Oprócz symbolu ${\displaystyle \mathbb {N} }$ stosuje się też inne, bardziej jednoznaczne^[14]:

• bez zera: ${\displaystyle \{1,2,\dots \}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}=\mathbb {Z} _{+};}$
• z zerem: ${\displaystyle \{0,1,2,\dots \}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}.}$

Definicje

Postulaty Peana

Giuseppe Peano (1858–1932)

Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki – tzw. postulaty lub aksjomaty Peana – które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

• 0 jest liczbą naturalną,
• Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany ${\displaystyle S(a),}$
• 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,
• Różne liczby naturalne mają różne następniki: ${\displaystyle a\neq b\Rightarrow S(a)\neq S(b),}$
• Jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna jest albo zerem, albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peana zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peana nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie itd., ani też nie wspominają uporządkowania (relacji ${\displaystyle \leqslant }$). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: ${\displaystyle a+0=a}$).

Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:

• ${\displaystyle a+0=a,}$
• ${\displaystyle a+S(b)=S(a)+b.}$

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb, np. obliczając ${\displaystyle 2+2}$ (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:

• ${\displaystyle 2+2,}$
• ${\displaystyle 2+S(1)}$ bo 2 jest następnikiem 1,
• ${\displaystyle S(2)+1}$ z definicji,
• ${\displaystyle 3+1}$ następnik 2 oznaczamy symbolem 3,
• ${\displaystyle 3+S(0)}$ 1 jest następnikiem 0,
• ${\displaystyle S(3)+0=S(3)}$ z definicji,
• ${\displaystyle S(3)=4}$ następnik 3 oznaczamy symbolem 4.

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:

• ${\displaystyle a\cdot 0=0,}$
• ${\displaystyle a\cdot S(b)=(a\cdot b)+a.}$

W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia ${\displaystyle (a\cdot 0=0)}$ byłby zastąpiony przez warunek: ${\displaystyle a\cdot 1=a.}$

Powyższe postulaty mówią, jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peana, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).

Konstrukcja Fregego-Russella

Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella^[15], definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

Model von Neumanna

John von Neumann (1903–1957)

Animacja konstrukcji von Neumanna liczb naturalnych ze zbioru pustego

Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez węgierskiego matematyka Johna von Neumanna – nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:

Niech X – zbiór induktywny.

Niech ${\displaystyle P:=\{Y\subset X:Y{\text{ - induktywny}}\}.}$ Przecięcie ${\displaystyle \mathbb {N}$ :=\cap P} jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:

rzeczywiście, niech ${\displaystyle Z}$ – zbiór induktywny. To ${\displaystyle \mathbb {N} \cap Z}$ też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w ${\displaystyle X,}$ a więc zawierającym ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ a więc równym ${\displaystyle \mathbb {N} }$ – co kończy dowód.

Korzystając z induktywności ${\displaystyle \mathbb {N} {:}}$

• ${\displaystyle \emptyset \in \mathbb {N} }$ – oznaczamy jako 0,
• ${\displaystyle S(\emptyset )=\{\emptyset \}}$ – oznaczamy jako 1,
• ${\displaystyle S(\{\emptyset \})=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}$ – oznaczamy jako 2
• ${\displaystyle S(\{\emptyset ,\{\emptyset \}\})=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}}$ – oznaczamy jako 3
• ...
• ${\displaystyle S(n)=n\cup \{n\}}$ – oznaczamy jako ${\displaystyle n+1}$

Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peana.

Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. ${\displaystyle 2=\{0,1\},}$ ${\displaystyle 5=\{0,1,2,3,4\}}$ itd.

Podstawowe własności

Moc

Alef zero – pierwsza nieskończona liczba kardynalna, definiowana jako moc zbioru liczb naturalnych

Liczby naturalne to podstawowy przykład zbioru nieskończonego – jest on równoliczny z częścią swoich podzbiorów właściwych. Moc tego zbioru nazywa się alef zero i oznacza ${\displaystyle \aleph _{0};}$ jest to najmniejsza nieskończona liczba kardynalna. Zbiory tej mocy nazywa się przeliczalnymi^[5], przy czym czasem to pojęcie obejmuje też zbiory skończone^[6].

Porządek

Dla dowolnych liczb naturalnych ${\displaystyle k,m,n{:}}$

• ${\displaystyle m<n\Rightarrow m\leqslant n,}$
• ${\displaystyle \neg (n<n),}$
• ${\displaystyle m\leqslant n\wedge \neg (m=n)\Rightarrow m<n,}$
• ${\displaystyle S(m)=S(n)\Rightarrow m=n,}$
• ${\displaystyle n\leqslant k\leqslant S(n)\Rightarrow k=n\vee k=S(n),}$
• ${\displaystyle m=n\vee n<m\vee m<n.}$

Działania

Relacja podzielności wprowadza w zbiorze liczb naturalnych częściowy porządek; można go przedstawić przez diagram Hassego. Relacja ta definiuje dwa działania: największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW). Zbiór liczb naturalnych z dwuargumentowymi wersjami tych działań tworzy kratę^[16].

W zbiorze liczb naturalnych definiuje się szereg działań jak:

• minimum (min),
• maksimum (max),
• dodawanie (+),
• mnożenie (·),
• potęgowanie^[a],
• największy wspólny dzielnik (NWD),
• najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW).

Przez to w algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby naturalne tworzą struktury algebraiczne:

• większość tych działań – oprócz potęgowania^[17] – jest łączna, przez co liczby naturalne tworzą z nimi półgrupy^[18];
• dodawanie, mnożenie i NWW mają wśród liczb naturalnych elementy neutralne – odpowiednio 0, 1 i 1 – przez co półgrupy te są nazywane monoidami;
• mnożenie jest też rozdzielne względem dodawania, przez co liczby naturalne z tymi dwoma działaniami (+,·) tworzą półpierścień^[19];
• półpierścieniami są też liczby naturalne z działaniami minimum i dodawania (min,+) oraz maksimum i dodawania (max,+)^[19];
• działania NWD i NWW są też przemienne, idempotentne i spełniają inne warunki kraty^[16].

Niektóre pary liczb naturalnych można też odejmować i dzielić, jednak wynik może nie być liczbą naturalną. Przez to mówi się, że działania te nie są wewnętrzne w tym zbiorze lub że nie jest on na nie zamknięty – nie są to działania na liczbach naturalnych w sensie algebry abstrakcyjnej^[20][21].

Każda liczba naturalna:

• ma jednoznaczną faktoryzację – mówi o tym zasadnicze twierdzenie arytmetyki;
• jest sumą czterech kwadratów liczb naturalnych – mówi o tym arytmetyczne twierdzenie Lagrange’a.

Historia

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

Zero

Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu „pustego miejsca”. Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.

W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.

Rola filozoficzna

W filozofii matematyki najpóźniej w XIX wieku powstała doktryna finityzmu, według której są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka^{[potrzebny przypis]}. Słynne jest stwierdzenie Leopolda Kroneckera, propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka^{[potrzebny przypis]}.

Uogólnienia

Wśród liczb całkowitych można wyróżnić podzbiór izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych. Innymi słowy istnieje podzbiór – z odziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia – spełniający aksjomaty Peana. To samo dotyczy dalszych uogólnień liczb całkowitych.

Zobacz też

• Rozumienie liczb przez zwierzęta
• Twierdzenia Gödla

Uwagi

1. Zerowa potęga zera czasem jest definiowana jako 1, a czasem uznawana za symbol nieoznaczony; w tym drugim wypadku potęgowanie nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze liczb naturalnych.