Częściowy porządek

Częściowy porządek lub krótko porządek^[1] – typ relacji matematycznej, a konkretniej dowolna relacja dwuargumentowa łącząca trzy cechy^[1]:

• zwrotność;
• przechodniość;
• (słaba) antysymetria.

Zbiór podzbiorów {x,y,z}, uporządkowany przez inkluzję

Liczby naturalne częściowo uporządkowane relacją podzielności

Krata podgrup czwartej grupy diedralnej

Równoważnie: antysymetryczny praporządek.

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest zbiorem, a ${\displaystyle \leqslant }$ częściowym porządkiem na ${\displaystyle X}$, to para uporządkowana ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ bywa znana jako poset, z ang. partially ordered set – zbiór częściowo uporządkowany^[2][3]. Ta nazwa występuje zwłaszcza w matematyce dyskretnej^{[potrzebny przypis]}.

Ostre i słabe porządki

Słabymi porządkami częściowymi nazywane są relacje zwrotne, przechodnie i antysymetryczne, z kolei ostre porządki częściowe to relacje przeciwzwrotne i przechodnie (relacja przeciwzwrotna i przechodnia jest zarazem asymetryczna). Porządki ostre i słabe są blisko związane w tym sensie, że łatwo jest zamienić relację jednego typu na relację drugiego typu.

Przypuśćmy, że ${\displaystyle \preccurlyeq }$ jest (słabym) porządkiem częściowym na zbiorze ${\displaystyle X.}$ Wówczas relacja ${\displaystyle \prec }$ na ${\displaystyle X}$ zdefiniowana przez

${\displaystyle x\prec y\iff x\preccurlyeq y\land x\neq y}$

jest ostrym porządkiem częściowym.

I na odwrót, jeśli ${\displaystyle \prec }$ jest ostrym porządkiem częściowym na zbiorze ${\displaystyle X,}$ to relacja ${\displaystyle \preccurlyeq }$ na ${\displaystyle X}$ zdefiniowana przez

${\displaystyle x\preccurlyeq y\iff x\prec y\lor x=y}$

jest (słabym) porządkiem częściowym.

Oznaczenia

Często w tekstach matematycznych używamy zarówno słabej, jak i silnej wersji porządku, którym się interesujemy. Zwyczajowo używamy wtedy oznaczeń takich, aby wersja słaba była oznaczana symbolem zawierającym znak równości (np. ${\displaystyle \leqslant ,\sqsubseteq ,\subseteq ,\preccurlyeq }$), a wersja silna była oznaczona symbolem bez tego znaku (np. ${\displaystyle <,\sqsubset ,\subset ,\prec }$).

Należy mieć jednak na uwadze, że zwyczaj taki nie wykształcił się względem zawierania zbiorów, gdzie symbol ${\displaystyle \subset }$ oznaczać może zawieranie właściwe lub niewłaściwe (relację silną lub słabą). W celu uniknięcia nieporozumień stosuje się więc często symbole ${\displaystyle \subseteq }$ oraz ${\displaystyle \varsubsetneq }$ odpowiednio dla relacji słabej i silnej.

Przykłady

• Szczególnym przypadkiem częściowego porządku jest porządek liniowy, w szczególności: naturalny porządek na liczbach rzeczywistych jest porządkiem częściowym.
• Relacja ${\displaystyle \preccurlyeq }$ określona w zbiorze liczb zespolonych:

  ${\displaystyle a+bi\preccurlyeq c+di\iff a\leqslant c\land b\leqslant d}$

jest częściowym porządkiem. Nie jest to jednak porządek liniowy.

• Relacja podzbiorów określona na dowolnej rodzinie podzbiorów ustalonego zbioru jest częściowym porządkiem.
• Każdy praporządek ${\displaystyle R}$ wyznacza porządek częściowy po utożsamieniu elementów ${\displaystyle x,y}$ takich że ${\displaystyle x\;R\;y}$ i ${\displaystyle y\;R\;x;}$ proces ten można nazwać redukcją praporządku do porządku.

Zobacz też

• funkcja monotoniczna
• pojęcie forsingu