Działanie dwuargumentowe

Działanie dwuargumentowe, działanie binarne^[1] – działanie algebraiczne o argumentowości równej dwa, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom jednego zbioru element tego samego zbioru^[2]: ${\displaystyle *\colon X\times X\to X.}$ Takie działania bywają też nazywane wewnętrznymi dla kontrastu z działaniami zewnętrznymi^[3] opisanymi w dalszej sekcji.

Symbole czterech podstawowych działań arytmetycznych używane w Polsce

Działania dwuargumentowe pojawiają się między innymi w arytmetyce i są jednym z głównych przedmiotów badań algebry^[2]. Takimi działaniami definiuje się podstawowe struktury algebraiczne jak:

• grupy i ich uogólnienia na monoidy, półgrupy i grupoidy;
• ciała i ich uogólnienia na pierścienie i półpierścienie;
• algebry Boole’a i ich uogólnienia jak kraty i półkraty.

Działania dwuargumentowe mogą mieć różne własności jak przemienność^[4], łączność^[5] i rozdzielność względem innego działania na tym samym zbiorze^[6]. Elementy zbioru, na którym określono działanie, mogą mieć względem tego działania szczególne własności jak neutralność^[7] i idempotentność^[8]. Własności działań i istnienie takich elementów pojawiają się w aksjomatycznych definicjach wspomnianych struktur.

Przykłady

Działania wewnętrzne

Działanie dwuargumentowe wewnętrzne

Sa to funkcje przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru ${\displaystyle X}$ element tego samego zbioru:

${\displaystyle *\colon X\times X\to X,\ \forall x,y\in X\colon (x,y)\mapsto x*y.}$

Przykłady to:

• dodawanie (+) liczb naturalnych i jego uogólnienia jak dodawanie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
• odejmowanie (−) liczb całkowitych i jego uogólnienia jak odejmowanie liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
• mnożenie (·) liczb naturalnych i jego uogólnienia jak odejmowanie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
• dzielenie (:) niezerowych liczb wymiernych, niezerowych rzeczywistych, niezerowych zespolonych i innych. Nie jest to działanie na wszystkich liczbach wymiernych, gdyż nie jest określone dzielenie przez zero – wynik dla par postaci ${\displaystyle (x,0)}$^[2];
• potęgowanie dodatnich liczb naturalnych i jego uogólnienie na potęgowanie dodatnich liczb rzeczywistych;
• dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej;
• złożenie funkcji działających wewnątrz ustalonego zbioru, inaczej działań jednoargumentowych: ${\displaystyle \circ \colon F\times F\to F.}$

Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest ${\displaystyle 0,}$ elementem neutralnym mnożenia jest ${\displaystyle 1.}$ Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych. W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne^{[potrzebny przypis]}.

Działania zewnętrzne

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ element pewnego zbioru ${\displaystyle Z,}$

${\displaystyle \spadesuit \colon X\times Y\to Z,\quad \forall _{x\in X,y\in Y}\;(x,y)\mapsto \spadesuit (x,y)}$

Przykładami takich działań są

• mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K,}$

  ${\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V,}$

• działanie grupy ${\displaystyle G}$ na zbiorze ${\displaystyle X,}$

  ${\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X.}$

Oznaczenia

Osobne artykuły: zapis przedrostkowy, zapis wrostkowy i zapis przyrostkowy.

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. ${\displaystyle f(a,b),}$ opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. ${\displaystyle a\oplus b,}$ choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) ${\displaystyle \diamondsuit }$ wyróżnia się notacje

• przedrostkową, prefiksową lub polską,

  ${\displaystyle \diamondsuit (x,y),}$

• przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,

  ${\displaystyle (x,y)\diamondsuit ,}$

• wrostkowa, infiksowa,

  ${\displaystyle (x\;\diamondsuit \;y).}$

Przykładowo wyrażenie wrostkowe ${\displaystyle 2\cdot (4-1)+3,}$ będzie miało następującą postać

• prefiksową: ${\displaystyle +\,\cdot \,2\,-\,4\;1\;3,}$
• postfiksową: ${\displaystyle 2\,4\,1\,-\,\cdot \,3\,+.}$

Przewagą notacji przyrostkowej, jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

• plus:

  ${\displaystyle +\oplus \bigoplus \uplus \biguplus \boxplus }$ lub

• zwężających się ku dołowi:

  ${\displaystyle \cup \bigcup \biguplus \sqcup \bigsqcup \vee \bigvee .}$

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę ${\displaystyle -\circleddash \ominus \boxminus .}$

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

• kropkę lub okrągły znak:

  ${\displaystyle \cdot \circ \bullet \bigodot \boxdot \;\circledcirc ,}$

• iks:

  ${\displaystyle \times \otimes \bigotimes \boxtimes ,}$

• gwiazdkę:

  ${\displaystyle \star *\circledast }$ lub

• zwężające się ku górze

  ${\displaystyle \cap \bigcap \sqcap \wedge \bigwedge .}$

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez ${\displaystyle \cdot ^{-1},}$ notacji wynikającej z definicji potęgowania.

Struktury algebraiczne

Strukturę ${\displaystyle (X,\heartsuit )}$ nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie ${\displaystyle \heartsuit }$ ma dodatkowo element neutralny, to struktura ${\displaystyle (X,\heartsuit )}$ jest monoidem. Jeśli struktura ${\displaystyle (X,\diamondsuit ,\heartsuit )}$ jest grupą ze względu na przemienne działanie ${\displaystyle \diamondsuit }$ i półgrupą ze względu na ${\displaystyle \heartsuit ,}$ przy czym działanie ${\displaystyle \heartsuit }$ jest rozdzielne względem ${\displaystyle \diamondsuit ,}$ to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie ${\displaystyle \heartsuit }$ jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

Zobacz też

• Liczba Grahama
• Notacja strzałkowa
• Tetracja

Przypisy

1. grupoid, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06].
2. działanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06].
3. Paweł Lubowiecki, cz. I Działanie wewnętrzne i zewnętrzne oraz grupa, Wojskowa Akademia Techniczna, kanał „UczelniaWAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-06].
4. przemienność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06].
5. łączność działania, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06].
6. rozdzielność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06].
7. neutralny element działania, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06].
8. idempotent, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06].

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Binary Operation, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Binary operation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].

Kontrola autorytatywna (binary function):

• NKC: ph118879

Encyklopedie internetowe:

• Britannica: topic/dyadic-operator