Aksjomat nieskończoności

Aksjomat nieskończoności – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Mówi, że istnieje zbiór ${\displaystyle X}$ spełniający dwa następujące warunki:

• ${\displaystyle \varnothing \in X,}$
• ${\displaystyle \forall _{y\in X}(S(y)\in X),}$

gdzie S(y) jest następnikiem porządkowym zbioru y:

${\displaystyle S(y)=y\cup \{y\}.}$

Oznacza to, że do zbioru ${\displaystyle X}$ należą:

• ${\displaystyle \varnothing }$ nazwijmy go ${\displaystyle A_{0},}$
• ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ nazwijmy go ${\displaystyle A_{1},}$
• ${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$ nazwijmy go ${\displaystyle A_{2}}$

itd.

Zbiór taki jest zbiorem nieskończonym – stąd nazwa aksjomatu.

Zbiór, który składa się z elementów ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots }$ (i żadnych innych), można utożsamić ze zbiorem liczb naturalnych, zbiory ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots }$ zaś utożsamić z liczbami ${\displaystyle 0,1,2,\dots }$

Zbiór spełniający warunki aksjomatu nazywamy zbiorem induktywnym.

Formalne sformułowanie aksjomatu nieskończoności

Istnieje rodzina zbiorów ${\displaystyle \mathbb {A} }$ o następujących własnościach:

• ${\displaystyle \varnothing \in \mathbb {A} ,}$
• jeśli ${\displaystyle X\in \mathbb {A} ,}$ to w ${\displaystyle \mathbb {A} }$ istnieje taki element Y, że ${\displaystyle Y=X\cup \{X\}.}$

Symbolicznie:

${\displaystyle \exists _{\mathbb {A} }\varnothing \in \mathbb {A} \wedge \forall _{X\in \mathbb {A} }\exists _{Y\in \mathbb {A} }\forall _{x}(x\in Y\Leftrightarrow x\in X\vee x=X)}$^[1].

Zobacz też

• zbiór induktywny