Zdanie logiczne – podstawowa kategoria syntaktyczna, będąca jednocześnie formą wypowiedzi, mającej na celu określenie stanu faktycznego danej rzeczy. Zdanie z języka J stwierdza (na mocy reguł semantycznych J) stan rzeczy s zawsze i tylko wtedy, gdy na mocy reguł semantycznych języka J: zdanie z jest prawdziwe zawsze i tylko wtedy, gdy s jest faktem, a z jest fałszywe zawsze i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że s jest faktem.
Zdanie logiczne jest zdaniem oznajmującym, któremu można przypisać jedną z wartości logicznych. W logikach dwuwartościowych są nimi prawda albo fałsz. Ponieważ język logiki i matematyki znacznie różnią się od języków naturalnych, można modyfikować określenie podane w poprzednim zdaniu tak, aby dopasować je do wymogów języków formalnych. I tak można określać zdanie logiczne jako wyrażenie (niekoniecznie o skończonej długości), złożone z symboli danego języka połączonych relacjami iloczynu logicznego, sumy logicznej i negacji, któremu można (przynajmniej teoretycznie) podporządkować jedną z wartości logicznych.
- Jest to zdanie w sensie logiki, gdyż można mu przypisać wartość prawda lub fałsz.
- Nie jest to zdanie w sensie logiki, gdyż nie można mu przypisać wartości prawda lub fałsz.
Definicja
Aby zdefiniować formalnie, czym jest zdanie, najpierw ustalamy zbiór zmiennych zdaniowych (tradycyjnie jest to zbiór liter z indeksami będącymi liczbami naturalnymi, czyli ). Zmienne zdaniowe mają reprezentować proste zdania, których wartość logiczną możemy łatwo rozstrzygnąć, ale ta interpretacja nie jest w ogóle potrzebna w rachunku zdań. Zmienne zdaniowe mogą być (i często są) traktowane jako formalne symbole bez specjalnego znaczenia poza budowaną teorią.
Następnie ustalamy zbiór spójników logicznych, z których każdy ma ustaloną arność. Najczęściej używanymi spójnikami logicznymi są: spójnik jednoargumentowy (negacja) i cztery spójniki dwuargumentowe: (alternatywa), (koniunkcja), (implikacja) i (równoważność).
Niech będzie zbiorem ciągów symboli, który jest najmniejszym zbiorem o następujących własnościach:
- każda zmienna zdaniowa należy do
- jeśli to również
- jeśli i jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to również
Elementy zbioru są nazywane zdaniami.
Podział zdań
- Zdania proste – w których nie występuje żaden spójnik
- Zdania złożone – w których występuje co najmniej jeden spójnik
W rachunku kwantyfikatorów struktura studiowanych wyrażeń jest o wiele bogatsza niż w rachunku zdań i zdania są tylko specjalnym rodzajem tychże wyrażeń.
Definicja
Ustalmy alfabet który jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z symboli ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalamy też listę zmiennych (zwykle ). Najpierw definiujemy termy języka jako elementy najmniejszego zbioru takiego, że:
- wszystkie stałe i zmienne należą do
- jeśli i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to
Następnie określamy zbiór formuł języka jako najmniejszy zbiór taki, że:
- jeśli to należy do
- jeśli zaś jest -arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie należy do
- jeśli i jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to oraz
- jeśli jest zmienną oraz to także i
W formułach postaci i mówimy, że zmienna znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana.
Zdanie w języku pierwszego rzędu to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, tj. znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.
Przykłady i własności
- Następujące formuły są zdaniami (dla odpowiednio dobranego alfabetu ): AC, CH
- Następująca formuła nie jest zdaniem ponieważ zmienna nie jest związana:
- Jeśli stałe, symbole funkcyjne i symbole relacyjne alfabetu zostaną zinterpretowane (czyli gdy zbudujemy model dla naszego języka), to o każdym zdaniu możemy rozstrzygnąć czy jest ono spełnione w tym modelu czy też nie.
Definicja zdania sformułowana powyżej dla logiki pierwszego rzędu może być w naturalny sposób przeniesiona na grunt innych logik. W szczególności w bardzo podobny sposób określamy, czym jest zdanie w:
- logikach nieskończonościowych (zezwalających na użycie nieskończonych koniunkcji czy też nieskończenie wielu kwantyfikatorów),
- logikach ze specjalnymi kwantyfikatorami (takimi jak kwantyfikator Magidora-Malitza),
- logice z -symbolem Hilberta,
- logikach wyższych rzędów.