Zmienne zależna i niezależna

Zmienne zależne i niezależne – sposób odróżniania dwóch rodzajów wielkości:

• te, które są dostępne od początku procesu i przez niego ukonstytuowane nazywane są zmiennymi niezależnymi;
• te, które pojawiają się później i są w ten sposób zależne od poprzednich nazywa się zmiennymi zależnymi.

Zmienna zależna i niezależna

W matematyce zmienne zależne rozumie się zwykle jako funkcje zmiennych niezależnych.

Przykład 1

Rozważmy taką sytuację z punktu widzenia mechaniki klasycznej:

Jeżeli kamień zostanie rzucony pionowo w górę, to wraz z upływem czasu (oznaczonym przez zmienną ${\displaystyle t}$) będzie się zmieniała jego odległość od ziemi (oznaczona przez zmienną ${\displaystyle h}$). Zatem zmienna ${\displaystyle h}$ wyraźnie zależy od zmiennej ${\displaystyle t,}$ gdyż odległość kamienia od ziemi zależy od momentu, w którym ją zmierzymy. Natomiast nie zachodzi relacja odwrotna, tzn. niezależnie od odległości kamienia od ziemi, czas płynie zawsze tak samo, czyli zmienna ${\displaystyle t}$ nie zależy od zmiennej ${\displaystyle h.}$ Zatem ${\displaystyle t}$ jest zmienną niezależną natomiast ${\displaystyle h}$ jest zmienną zależną (od zmiennej ${\displaystyle t}$).

Można znaleźć dokładniejszy związek pomiędzy czasem i odległością kamienia od ziemi i zapisać w postaci wzoru matematycznego, przyjmując pewne założenia upraszczające (takie jak między innymi brak oporu powietrza), dostając takie równanie:

${\displaystyle h(t)=v_{0}t-gt^{2}/2,}$

gdzie ${\displaystyle v_{0}}$ to prędkość pionowa z jaką kamień został wyrzucony z powierzchni ziemi, natomiast ${\displaystyle g}$ to przyspieszenie ziemskie. W ten sposób, przyjmując pewne założenia upraszczające rzeczywistość (prosty model fizyczny), znaleźliśmy użyteczny w pewnych sytuacjach (z praktycznego punktu widzenia) związek zmiennej niezależnej ${\displaystyle t}$ i zależnej ${\displaystyle h.}$

Przykład 2

Dane równanie ${\displaystyle s=vt}$ w interpretacji fizycznej ruchu zawiera w sobie dwie zmienne zależne: ${\displaystyle s=s(t)}$ oraz ${\displaystyle v=v(t).}$ Oznacza to, że przebyta droga ${\displaystyle s}$ oraz prędkość ${\displaystyle v}$ są zależne od czasu i można, a nawet należy te wielkości rozpatrywać jako pewne funkcje czasu. Ostatecznie pełna forma przybierze postać

${\displaystyle s(t)=v(t)\cdot t.}$

Podobnie w równaniach różniczkowych można rozpatrywać przyrosty (różniczki) względem parametrów. W zapisie równań różniczkowych ze zmiennymi zależnymi i niezależnymi

${\displaystyle {\frac {ds(t)}{dt}}={\frac {dv(t)}{dt}}\cdot t+v(t)\cdot 1={\frac {dv(t)}{dt}}t+v(t),}$

lub w notacji kropkowej – kropka nad znakiem oznacza różniczkę danego wyrażenia względem zmiennej niezależnej

${\displaystyle {\dot {s}}={\dot {v}}t+v.}$

Zobacz też

• równanie różniczkowe
• zmienna

Encyklopedie internetowe (artykuł w Wikipedii opisujący kilka tematów):

• Britannica: science/response-variable