Funkcja uwikłana – funkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju
ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako
[1].
Niech
będą przestrzeniami unormowanymi,
oraz
będzie ciągła. Każdą funkcję
gdzie
jest pewnym podzbiorem
spełniającą dla każdego
równanie
nazywamy funkcją uwikłaną funkcji
albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie ![{\displaystyle f(x,y)=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1dd904a02ab582ed0c2d31ba4984e797857b06)
Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania
względem ![{\displaystyle y.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji
która jest określona w pewnym otoczeniu punktu
spełnia w tym otoczeniu warunek
oraz
Jest to możliwe tylko wtedy, gdy
i
są tak dobrane, że
Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie o funkcji uwikłanej
Niech
będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli
jest zbiorem otwartym, a
funkcją klasy
i dla pewnego punktu ![{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d70223a3ebff85ecd59cf7db4d7584935a8f7cc)
oraz pochodna cząstkowa ![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\in \operatorname {Isom} (Y;Y),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb795683d353954977bb61a48bdd4713fb3ecca7)
to istnieją liczby
i
oraz funkcja
klasy
że
![{\displaystyle k(x_{0},\delta )\times k(y_{0},\eta )\subseteq D,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5919ff816e6dfbc46126e932e47799100b639ddd)
- dla każdego punktu
jedynym punktem
spełniającym równanie
jest punkt ![{\displaystyle y=\varphi (x).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b35410b46feaf8e20f7f6c2e0baa7977265cf4)
Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.
Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej
Niech
będą przestrzeniami Banacha,
będzie zbiorem otwartym oraz
funkcją klasy
taką, że różniczka cząstkowa
dla każdego
Dalej niech dana będzie funkcja ciągła
gdzie
jest podzbiorem otwartym przestrzeni
Jeżeli dla każdego ![{\displaystyle x\in U}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32ddcb2941216f2980b950ce969dc15cba26906)
oraz ![{\displaystyle f(x,\psi (x))=0,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a6518605e51578257249ec95b1a6b32670368f)
to
jest funkcją klasy
i dla każdego
różniczka:
![{\displaystyle d\psi (x)=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\psi (x))\right)^{-1}\circ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\psi (x)).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b386b2c97f958296416916a5e2c4098ddc4fe0e1)
Funkcje rzeczywiste
Niech
będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja
jest klasy
i dla pewnego punktu
spełnia warunki:
oraz ![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cfb9f46580db21786d193bae3f6a49a29a333a)
to w pewnym otoczeniu punktu
istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła
spełniająca warunki
oraz
dla
z tego otoczenia.
Ponadto jeśli w otoczeniu punktu
istnieje ciągła pochodna cząstkowa
to funkcja uwikłana
ma ciągłą pochodną daną wzorem
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bee955bad6b93e756aaec91284eefbd2e500456)
Inne twierdzenia
Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:
Niech
będą przestrzeniami Banacha,
będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli
są funkcjami klasy
takimi, że
![{\displaystyle \varphi (0)=0,\psi (0)=0,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd7ae19653d2ac42e81e8fb8ea2723a63216298)
![{\displaystyle \psi \circ \varphi \equiv 0,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf81b27920aa25964ec27424f28feebf9d5ce26)
![{\displaystyle \operatorname {im} \;d\varphi (0)=\ker \;d\psi (0)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f44d07542fcf8651216f1e34ceaecfbb355e47)
jest zbiorem domkniętym
wówczas istnieje takie otoczenie zera
że
![{\displaystyle \psi ^{-1}(0)\cap W=\varphi (U)\cap W.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5468ebf41e8f6e449c40c89eb7801f1a797fde61)