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立方體
由6個正方形面組成的三維幾何體 / 維基百科,自由的 encyclopedia
在幾何學中,立方體,是由6個正方形面組成的正多面體,故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜(邊)和8個頂點,是五個柏拉圖立體之一。
![]() (按這裡觀看旋轉模型) | |||
類別 | 柏拉圖立體 正多面体 | ||
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對偶多面體 | 正八面體![]() | ||
識別 | |||
名稱 | 正六面體 | ||
參考索引 | U06, C18, W3 | ||
鮑爾斯縮寫 (verse-and-dimensions的wikia:Bowers acronym) | cube![]() | ||
數學表示法 | |||
施萊夫利符號 | {4,3}![]() | ||
威佐夫符號 (英语:Wythoff symbol) | 3 | 2 4 | ||
康威表示法 | C![]() | ||
性質 | |||
面 | 6 | ||
邊 | 12 | ||
頂點 | 8 | ||
歐拉特徵數 | F=6, E=12, V=8 (χ=2) | ||
二面角 | 90° | ||
組成與佈局 | |||
面的種類 | 正方形 | ||
面的佈局 (英语:Face configuration) | 6個{4} | ||
頂點圖 | 4.4.4 | ||
對稱性 | |||
對稱群 | Oh | ||
特性 | |||
正凸環帶多面體 | |||
圖像 | |||
| |||
立方體是一種特殊的正四棱柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體,就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性(英语:Octahedral symmetry),即考克斯特BC3對稱性,施萊夫利符號{4,3},考克斯特-迪肯符號(英语:Coxeter-Dynkin digram),其對偶多面體為正八面體。
性質
面的組成:正方形
面的數目:6
邊的數目:12
頂點數目:8
表面積:
體積:
二面角角度:
外接球半徑:
內接球半徑:
對偶多面體:正八面體
在所有表面积一定的长方体中,立方体的体积最大,同样,在所有线性大小(长宽高之和)一定的长方体中,立方体的体积也是最大的。反过来,体积相等的长方体中,立方体拥有最小表面积和线性大小。
顶点坐标及表面方程
在三维直角坐标系中,对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体,其顶点坐标为 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。
在R3中,以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹,其中x,y,z满足:
几何性质
立方体有11种不同的展开图,即是说,我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形,见右图。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Planificacao_cubo.gif/640px-Planificacao_cubo.gif)
如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色,则我们至少需要3种颜色(类似于四色问题)。
立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体,因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌(三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体)。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的,因此,它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体(它所有相对的面关于立方体中心中心对称)。
将立方体沿对角线切开,能得到6个全等的正4棱柱(但它不是半正的,底面棱长与侧棱长之比为2:√3)将其正方形面贴到原来的立方体上,能得到菱形十二面体(两两共面三角形合成一个菱形)。
正交投影
我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上,这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。
半正对称性与表面涂色
作为正多面体之一,立方体拥有较高的对称性,它的所有面在几何上都是相同的,不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”,使它其的不同面拥有不同的“几何意义”,使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性,即正八面体对称性Oh中,立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱,有两个颜色相同的上下底面,其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱,不过是长方形棱柱,即一个长方体,它的相对的面颜色相同,而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号(英语:Coxeter-Dynkin digram)和Wythoff符号(英语:Wythoff symbol)。此外,由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱,立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶,即正三偏方面体。
名称 | 正六面体 | 正四棱柱 | 长方体 | 正三偏方面体 |
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考克斯特符号(英语:Coxeter-Dynkin diagram) | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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施莱夫利符号 | {4,3} | {4}×{} | {}×{}×{} | |
Wythoff符号(英语:Wythoff symbol) | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |
对称性(英语:List of spherical symmetry groups) | Oh (*432) |
D4h (*422) |
D2h (*222) |
D3d (2*3) |
对称群阶 | 24 | 16 | 8 | 12 |
图像 (半正表面涂色) |
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![]() (112) |
![]() (123) |
![]() (111), (112), (122), 及(222) |
相关多面体及鑲嵌
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Tetraeder-Animation.gif)
- 將立方體的其中四個頂點相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長的
,其體積為立方體體積的
。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Tetraeder_animation_with_cube.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Octahedron_in_Cube.png/150px-Octahedron_in_Cube.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Cube_in_Octahedron.png/150px-Cube_in_Octahedron.png)
當正八面體在立方體之內:
正八面體體積 : 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊3
=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3
=1 : 6
- 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
- 截半立方體:從一條棱斬去另一條棱的中點得出
- 截角立方體
- 超正方體:立方體在高維度的推廣。更加一般的,立方体是一个大家族,即立方形家族(又称超方形、正测形)的3维成员,它们都具有相似的性质(如二面角都是90°、有类似的超体积公式,即Vn-cube=an等)。
- 長方體、偏方面體的特例。
将立方体对映映射(英语:Antipodal point)后的到的商形成的一个实射影多面体,即立方體半形(hemicube)(不应叫其“半立方体”,因为其易与‘demicube’混淆)。
正方体的对偶多面体是正八面体,如果原正方体棱长为1,则对偶正八面体棱长为√2。
正方体是一种最特殊的四边形正六面体:
立方体的8个顶点可以被交错地分为两组,每一组都构成一个完整的正四面体,更严格地说,这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起,就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体(Stella Octagula)。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着,正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群,对应着能将半立方体变换到自身的对称变换,立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥,各占立方体体积的1/6。
从立方体各棱中点处切掉立方体的角,我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面,而切掉的顶点处出现了新的正三角形面,这样的操作叫“截半”(rectification),得到的半正多面体叫截半立方体(rectified cube),又叫立方八面体(cuboctahedron)。如果我们不在棱中点处截它,则这种操作叫“截角”(truncation),正方形面变成了八边形。如果截的合适,则我们可将正方形截成正八边形,得到的半正多面体叫截顶立方体(truncated cube)。如果我们同时截掉立方体的棱和顶,则这种操作叫“截棱”(centellation),如果截的恰当,得到的半正多面体是小斜方截半立方体(rhombicuboctahedron)。
正十二面体有20个顶点,它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组,这8个顶点两两相连,构成内接在正十二面体内部的立方体,它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起,构成复合多面体——五复合立方体。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Rhombihedron-in-dodecahedron.png/640px-Rhombihedron-in-dodecahedron.png)
如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点,我们会得到一个非正的八面体,将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上,则我们得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体(如正八面体和立方八面体)构成正八面体家族:
对称性: [4,3], (*432) | [4,3]+, (432) | [1+,4,3], (*332) | [4,3+], (3*2) | ||||||
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{4,3} | t0,1{4,3} | t1{4,3} | t1,2{4,3} | {3,4} | t0,2{4,3} | t0,1,2{4,3} | s{4,3} | h{4,3} | h1,2{4,3} |
半正多面体的对偶 | |||||||||
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V4.4.4 | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3 | V3.3.3.3.3 |
此外,立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关:
立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关:
立方体是正四棱柱:
對稱群(英语:List of spherical symmetry groups) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
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[2n,2] [n,2] [2n,2+] |
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圖像 | ![]() |
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球面多面體 | ||||||||||
圖像 | ![]() |
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類別 | 柏拉圖立體 | 卡塔蘭立體 | |||||
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種子 | ![]() {3,3} |
![]() {4,3} |
![]() {3,4} |
![]() {5,3} |
![]() {3,5} |
![]() aC |
![]() aD |
倒角 | ![]() cT |
![]() cC |
![]() cO(英语:Chamfered octahedron) |
![]() cD |
![]() cI |
![]() caC |
![]() caD |
應用
- 日常生活
- 遊戲
- 視錯覺
- 數論
數學問題
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Hexahedron_flat.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Hex_cross_section.png/150px-Hex_cross_section.png)
倍立方體問題
參見尺規作圖,已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出的位置
最大的橫切面
立方體的橫切面只有四種:
其中以正六邊形的面積最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为。