Правильний додекаедр

Правильний додека́едр (від грец. δώδεκα — дванадцять і грец. ἕδρα — грань) — правильний дванадцятигранник, об'ємна геометрична фігура, поверхня якої складена з дванадцяти правильних п'ятикутників, є одним з п’яти опуклих правильних многогранників (тіл Платона).

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Додекаедр (значення).

Правильний додекаедр
Натисніть тут , щоб подивитися обертання моделі
Тип	Правильний многогранник
Властивості	Опуклий, рівносторонній,однорідний, вершинно-транзитивний, гране-транзитивний
Комбінаторика
Елементи	12 граней ({5}) 30 ребер 20 вершин (3-го степеня)
Грані	12 Правильних п'ятикутників
Характеристика Ейлера	${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2}$
Конфігурація вершини	5.5.5 = 53 В кожній вершині сходяться 3 п'ятикутника.
Вершинна фігура	Правильний трикутник з довжиною сторони ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
Класифікація
Позначення	• D (в нотації Конвея[en] ) • D5 (в нотації Стюарта) • U23 (як однорідний многогранник) • C26 (в нотації Г. Коксетера) • W5 (в нотації М. Веннінґера)
Символ Шлефлі	${\displaystyle \left\{5,3\right\}}$
Символ Витгоффа[en]	3 | 2 5
Діаграма Коксетера-Динкіна
Діаграма Шлегеля
Група симетрії	Ih[en], H3, [5,3], (*532), порядок 120 (Повна ікосаедрична симетрія)
Група обертань	I, [5,3]+, (532), порядок 60
Двоїстий многогранник	Правильний ікосаедр
Розгортка

Додекаедр складений з 12 правильних п'ятикутних граней.

Має 30 ребер однакової довжини та 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників.

Його символ Шлефлі — ${\displaystyle \left\{5,3\right\}}$. Це означає, що кожна вершина оточена трьома правильними п'ятикутниками; або також це означає для многогранника, що його грань — , правильний п'ятикутник а вершинна фігура — правильний трикутник . ^{[1] :стор.410}

Правильний додекаедр має повну ікосаедричну симетрію^[en] I_h, групу Коксетера [5,3], порядку 120, з абстактною структурою групи A₅ × Z₂.

Правильний додекаедр

Правильний додекаедр має 31 вісь обертової симетрії:

‒ 6 осей 5-го порядку ‒ проходять через центри протилежних граней; (поворот на 72°, 144°, 216° і 288° або 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5 радіан);

‒ 10 осей 3-го порядку ‒ проходять через протилежні вершини; (поворот на 120° і 240° або 2π/3 і 4π/3 радіан);

‒ 15 осей 2-го порядку ‒ проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180° або π радіан).

Правильний додекаедр має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.

Має центр симетрії (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).

Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324°.

Правильний додекаедр є третім в нескінченній серії зрізаних трапецоедрів^[en].

Правильний додекаедр має три зірчасті форми.

Геометрія

Куб, вписаний в додекаедр

• Правильний додекаедр з довжиною ребра ${\displaystyle a}$ можна побудувати, наростивши грані куба з довжиною ребра ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a}$ шістьма однаковими клинами певних розмірів таким чином, щоб сусідні трикутні та трапецієподібні грані клинів утворювали правильні п'ятикутники. ^{[2]:Стор.69}
• У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
• Правильний додекаедр може бути отриманий шляхом зрізання двох осьових вершин п’ятикутного трапецоедра.
• Всі 20 вершин додекаедра лежать по п’ять в чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п’ятикутник.

Властивості

• Правильний додекаедр має найбільший об’єм серед всіх тіл Платона з тою ж довжиною ребра. Якщо п’ять платонових тіл мають однаковий об’єм, правильний додекаедр має найкоротшу довжину ребра.

• Правильний додекаедр є найокруглішим з п'яти платонових тіл, тобто охоплює найбільший об'єм в межах кулі певного радіусу.

• Перерізом правильного додекаедра площиною, перпендикулярною до осей симетрії 5-го порядку, може бути:
  1. 1. правильний п'ятикутник ; Найбільший за площею переріз у формі правильного п'ятикутника (проходить через п'ять вершин додекаедра паралельно до його грані) ділить висоту додекаедра у співвідношенні ${\displaystyle AB:BD=1:\varphi =1:1.61803399}$
     2. правильний десятикутник (якщо площина проходить також через центр правильного додекаедра; таких перерізів додекаедр має 6) ^{[3]:Стор.24} ;
     3. напівправильний рівнокутний десятикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).

Перерізом правильного додекаедра площиною, що проходить перпендикулярно до осі симетрії 3-го порядку (діагоналі правильного додекаедра) може бути:

1. Правильний трикутник;
2. Правильний шестикутник (якщо площина проходить також через центр правильного додекаедра; таких перерізів додекаедр має 10) ^{[3]:Стор.26} ;
3. Напівправильний рівнокутний шестикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).

Анімація складання розгортки додекаедра

• Правильний додекаедр має 43,380 розгорток ^[4] (так само як і правильний ікосаедр).
  • Для того, щоб зафарбувати правильний додекаедр так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні чотири кольори. Кількість способів розфарбувати правильний додекаедр так, щоб всі грані мали різні кольори дорівнює 12!/60 = 7 983 360 : група кольорів є групою перестановок з 12 елементів і має розмір 12!, тоді як порядок чистої обертової симетрії правильного додекаедра дорівнює 60 (половина від повної симетрії, тобто 120 елементів). ^[5]
• Середини двох сусідніх ребер (що мають спільну вершину) та центр додекаедра утворюють рівнобедрений трикутник з внутрішніми кутами 36-72-72, який є «золотим трикутником».

Зв'язок з правильним ікосаедром

Правильний додекаедр та правильний ікосаедр є взаємно двоїстими многогранниками. Тобто центри граней правильного додекаедра є вершинами правильного ікосаедра, і навпаки, центри граней правильного ікосаедра є вершинами правильного додекаедра

Якщо правильний додекаедр має ребро довжиною 1, то його топологічно двоїстий ікосаедр (вершини знаходяться в центрах граней початкового додекаедра) має ребро довжиною ${\displaystyle {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{10}}\approx 1.370820393}$, а канонічно двоїстий ікосаедр (напіввписані сфери канонічно-двоїстої пари многогранників збігаються) має ребро довжиною ${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618034}$.

Серед правильних многогранників як додекаедр, так і ікосаедр являють собою найкраще наближення до сфери. Ікосаедр має найбільше число граней, найбільший двогранний кут і найщільніше притискається до своєї вписаної сфери. З іншого боку, додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший тілесний кут при вершині і максимально заповнює свою описану сферу.

Якщо додекаедр вписано у сферу, то він займає 66.49% об'єму сфери. А ікосаедр, вписаний у ту саму сферу, займає 60.54% її об'єму.

Сфера, що вписана в ікосаедр, охоплює 89,635% його об'єму порівняно з 75,47% для додекаедра.

Об'єм правильного додекаедра з довжиною ребра ${\displaystyle a}$ більш ніж у три з половиною рази більший за об'єм ікосаедра з такою самою довжиною ребер:

${\displaystyle V_{\text{додек.}}=7.663...\cdot a}$ та ${\displaystyle V_{\text{ікос.}}=2.181...\cdot a}$.

Відношення об'ємів складає:

${\displaystyle {\frac {V_{\text{додек.}}}{V_{\text{ікос.}}}}={\frac {3(5+3{\sqrt {5}})}{10}}={\frac {3}{5}}\cdot (3\varphi +1)=1.8\cdot \varphi +0.6\approx 3.51246117975}$

Додекаедр, вписаний в ікосаедр

Ікосаедр, вписаний в додекаедр

• В правильний ікосаедр можна вписати правильний додекаедр таким чином, що всі 20 вершин додекаедра знаходитимуться в центрах граней ікосаедра.
• Правильний ікосаедр можна вписати в правильний додекаедр таким чином, що всі 12 вершин ікосаедраа будуть розташовані в центрах 12-ти граней додекаедра.

Зв'язок з «золотим прямокутником»

Золоті прямокутники в ікосаедрі.

Золоті прямокутники в додекаедрі.

Золоті прямокутники з відношенням сторін (ϕ + 1) : 1 та ϕ : 1 ідеально вписуються в правильний додекаедр.^[6]

При цьому дві короткі сторони такого прямокутника збігаються з протилежними паралельними ребрами додекаедра.

Окрім того, центри граней правильного додекаедра (які є вершинами правильного ікосаедра) формують три золоті прямокутники, що перетинаються. [[Файл:|міні]]

Формули

У всіх формулах нижче:

${\displaystyle \varphi =2\cdot \cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618034}$ — відношення пропорції «золотого перетину».

(послідовність A001622 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

${\displaystyle \xi =2\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {\varphi }}}\approx 1.1755705}$

Діагоналі

Кількість діагоналей опуклого многогранника: ${\displaystyle {\binom {B}{2}}-P}$,

де В — кількість вершин, Р — кількість ребер многогранника.

Для правильного додекаедра:

${\displaystyle {\binom {20}{2}}-30={\frac {20}{2}}\cdot {\frac {19}{1}}-30=190-30=160}$ діагоналей (60 граневих та 100 просторових).^[7]

Діагоналі правильного додекаедра з довжиною ребра ${\displaystyle a}$
	Граневі діагоналі	${\displaystyle AB={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a=\varphi \cdot a}$	≈ 1.618033988${\displaystyle \cdot a}$
	Просторові діагоналі	${\displaystyle AC={\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}\cdot a={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {10}}}{2}}\cdot a={\sqrt {2}}\cdot \varphi \cdot a}$	≈ 2.288245611${\displaystyle \cdot a}$
		${\displaystyle AD={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a=(\varphi +1)\cdot a}$	≈ 2.618033988${\displaystyle \cdot a}$
		Найдовша діагональ: ${\displaystyle AF={\sqrt {\frac {3(3+{\sqrt {5}})}{2}}}\cdot a={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{2}}\cdot a={\sqrt {3}}\cdot \varphi \cdot a}$	≈ 2.802517076${\displaystyle \cdot a}$

Метричні характеристики

Для правильного додекаедра з довжиною ребра ${\displaystyle a}$
Радіус вписаної сфери [8]:Стор.9 (Торкається всіх граней многогранника)	${\displaystyle r={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}\cdot a={\frac {2\varphi +1}{2\cdot {\sqrt {\varphi +2}}}}\cdot a={\frac {\varphi +1}{2\cdot \xi }}\cdot a}$	≈ 1.113516364 ${\displaystyle \cdot a}$
Радіус напіввписаної сфери [8]:Стор.9 (Торкається всіх ребер многогранника)	${\displaystyle \rho ={\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}\cdot a={\frac {\varphi +1}{2}}\cdot a}$	≈ 1.30901699 ${\displaystyle \cdot a}$
Радіус описаної сфери [8]:Стор.9 (Містить всі вершини многогранника)	${\displaystyle R={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3(3+{\sqrt {5}})}{2}}}\cdot a={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{4}}\cdot a={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \varphi \cdot a}$	≈ 1.401258538 ${\displaystyle \cdot a}$ послідовність A179296 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Висота H1 (Відстань між паралельними гранями)	${\displaystyle H_{1}=2\cdot r={\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}\cdot a}$	≈ 2.2270327 ${\displaystyle \cdot a}$
Висота H2 (Відстань між протилежними вершинами)	${\displaystyle H_{2}=2\cdot R={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{2}}\cdot a={\sqrt {3}}\cdot \varphi \cdot a}$	≈ 2.802517077 ${\displaystyle \cdot a}$
Площа поверхні	${\displaystyle S=3\cdot {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}={\frac {15\cdot \varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}\cdot a^{2}=15\cdot {\frac {\varphi }{\xi }}\cdot a^{2}}$ ${\displaystyle S=30\cdot {\sqrt {2\cdot (65-29{\sqrt {5}})}}\cdot r^{2}}$ ${\displaystyle S=2\cdot {\sqrt {10\cdot (5-{\sqrt {5}})}}\cdot R^{2}={\frac {20}{\sqrt {2+\varphi }}}\cdot R^{2}}$	≈ 20.6457288 ${\displaystyle \cdot a^{2}}$ ≈ 16.6508731 ${\displaystyle \cdot r^{2}}$ ≈ 10.5146222 ${\displaystyle \cdot R^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle V={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}\cdot a^{3}={\frac {4+7\varphi }{2}}\cdot a^{3}}$ ${\displaystyle V=10\cdot {\sqrt {2\cdot (65-29{\sqrt {5}})}}\cdot r^{3}}$ ${\displaystyle V={\frac {10{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}}{9}}\cdot R^{3}={\frac {20}{3\cdot {\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {\varphi +1}{\varphi +2}}\cdot R^{3}}$	≈ 7.66311896 ${\displaystyle \cdot a^{3}}$ ≈ 5.55029102 ${\displaystyle \cdot r^{3}}$ ≈ 2.78516386 ${\displaystyle \cdot R^{3}}$

Відношення радіусів ${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {\sqrt {3\cdot (3-\varphi )}}{\varphi }}={\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}\approx 1.25840857}$  однакове, як для правильного додекаедра, так і для правильного ікосаедра. Таким чином, якщо правильні додекаедр та ікосаедр мають однакові вписані сфери, то їх описані сфери також рівні між собою. Доведення цього математичного результату дано в Началах Евкліда.

Центр масс правильного додекаедра знаходиться в його геометричному центрі.

Момент інерції суцільного правильного додекаедра з масою m та довжиною ребра a (вісь обертання проходить через центри протилежних граней):^[9]

${\displaystyle I={\frac {95+39\cdot {\sqrt {5}}}{300}}\cdot m\cdot a^{2}\approx 0.6073555037\cdot m\cdot a^{2}}$

Вписана сфера правильного додекаедра	Напіввписана сфера правильного додекаедра	Описана сфера правильного додекаедра

Точка в просторі

Нехай описана сфера додекаедра має радіус R. Нехай дано довільну точку в просторі і відстані від неї до вершин додекаедра дорівнюють d_i . Тоді виконується рівність: ^{[10] :стор.353, теор.7.2}

${\displaystyle {\frac {1}{20}}\sum _{i=1}^{20}d_{i}^{4}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {1}{20}}\sum _{i=1}^{20}d_{i}^{2}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.}$

Якщо точка знаходиться на описаній сфері додекаедра, то виконується рівність:^{[10] :стор.354, теор.7.6}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{20}d_{i}^{2}=15\cdot \sum _{i=1}^{20}d_{i}^{4}}$

Кути

Плоскі кути граней при вершині: 108°.

Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324°.

Кути многогранника
Кут, під яким ребро видно з центру правильного додекаедра	${\displaystyle \delta =\arccos \left({\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)=2\cdot \arcsin \left({\frac {1}{{\sqrt {3}}\cdot \varphi }}\right)}$	≈ 0.7297276562 rad ≈ 41°48′ 37.1336248′′
Двогранний кут між гранями [8]:Стор.10	${\displaystyle \theta =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)=2\cdot \arctan \left(\varphi \right)=\operatorname {arccot} \left(-{\frac {1}{2}}\right)}$	≈ 2.0344439358 rad ≈ 116°33′ 54.184237′′
Тілесний кут при вершині	${\displaystyle \Omega _{1}=\arccos \left(-{\frac {11{\sqrt {5}}}{25}}\right)=\arcsin \left({\frac {2{\sqrt {5}}}{25}}\right)=\pi -\arctan \left({\frac {2}{11}}\right)}$	${\displaystyle \Omega _{1}}$ ≈ 2.9617391538 ср
Тілесний кут, під яким грань видно з центра многогранника	${\displaystyle \Omega _{2}={\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle \Omega _{2}}$ ≈ 1.0471975512 ср
Сферичність	${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{{\frac {5\pi }{6}}\cdot (47+21{\sqrt {5}})}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle \Psi \thickapprox 0.9104531814}$

Зауважимо, що ${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=2}$

Координати вершин

Двадцять вершин правильного додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в них чотири правильні п'ятикутники.

Відстані між цими площинами, якщо ребро правильного додекаедра дорівнює 1: ^{[8]:Стор.10-13}

${\displaystyle AB=CD={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}={\frac {\varphi }{\sqrt {\varphi +2}}}}$	≈ 0.850650808352
${\displaystyle BO=OC={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}={\frac {1}{2\cdot {\sqrt {\varphi +2}}}}}$	≈ 0.262865556059
${\displaystyle BC={\frac {AB}{\varphi }}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}={\frac {1}{\sqrt {\varphi +2}}}}$	≈ 0.525731112119
${\displaystyle AO=OD={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}={\frac {2\varphi +1}{2\cdot {\sqrt {\varphi +2}}}}}$	≈ 1.113516364412
${\displaystyle AC={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}={\frac {\varphi +1}{\sqrt {\varphi +2}}}}$	≈ 1.376381920471
${\displaystyle AB={\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}={\frac {2\varphi +1}{\sqrt {\varphi +2}}}}$	≈ 2.227032728823

Координати вершин правильного додекаедра з довжиною ребра a = 1:^[11]

• ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}},\quad \pm {\frac {1}{2}}\,,{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$, ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}},\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\,,{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$, ${\displaystyle \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}},\quad 0\,\,,{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$;

• ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}},\quad \pm {\frac {1}{2}}\,,-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}},\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\,,-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}},\quad 0\,\,,-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$;

— ці координати задають вершини верхньої та нижньої п'ятикутних граней, що паралельні до площини Oxy.

• ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}},\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\,,{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$, ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}},\,\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}\,,{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$,${\displaystyle \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}},\,0\,,{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$ ;
• ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}},\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\,,-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}},\,\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}\,,-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$,${\displaystyle \left({\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}},\,0\,,-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$ .

— ці координати задають 10 вершин, що лежать в двох паралельних площинах між верхньою та нижньою гранями.

При цьому вісь Oz збігається з однією з осей обертової симетрії 5-го порядку, вісь Oy збігається з однією з осей обертової симетрії 2-го порядку, а площина Oxz є площиною дзеркальної симетрії правильного додекаедра. Центр многогранника знаходиться в початку координат.

Наступні декартові координати визначають 20 вершин правильного додекаедра:^[12]

	${\displaystyle \left(\pm 1,\pm 1,\pm 1\right)}$	Помаранчеві вершини формують куб (пунктирні лінії).
	${\displaystyle \left(0,\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }}\right)}$	Зелені вершини формують «золотий прямокутник» в yz-площині.
	${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{\varphi }},0,\pm \varphi \right)}$	Сині вершини формують «золотий прямокутник» в xz-площині.
	${\displaystyle \left(\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }},0\right)}$	Рожеві вершини формують «золотий прямокутник» в xy-площині.

де ${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618034}$ — відношення пропорції «золотого перетину».

Довжина ребра цього додекаедра дорівнює ${\displaystyle a=2\cdot (\varphi -1)={\frac {2}{\varphi }}={\sqrt {5}}-1}$. Центр знаходиться в початку координат. Радіус описаної сфери дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$. При цьому координати (±1, ±1, ±1) є вершинами куба з довжиною ребра b = 2.

Осі координат Ox, Oy та Oz збігаються з осями обертової симетрії 2-го порядку, а координатні площини Oxz, Oyz та Oxy є площинами дзеркальної симетрії правильного додекаедра.

Граф правильного додекаедра

Граф правильного додекаедра
5-fold symmetry
Вершин	20
Ребер	30
Радіус	5
Діаметр	5
Обхват	5
Автоморфізм	120
Хроматичне число	3
Властивості	Регулярний, планарний, багатогранний, простий, зв'язний, симетричний Гамільтонів, не граф Келі, кубічний, циклічний , вершинно-транзитивний, реберно-транзитивний

В теорії графів граф правильного додекаедра — це граф з 20 вершинами та 30 ребрами, що має кістяк правильного додекаедра.^[13]

Всі 20 вершин графа мають степінь 3, а отже, граф є кубічним.

Спектр графа : ${\displaystyle Spec(G)=(-{\sqrt {5}})^{3}\left(-2\right)^{4}0^{4}1^{5}({\sqrt {5}})^{3}3^{1}}$ ^[14]

Цей граф також можна побудувати як узагальнений граф Петерсена G(10,2), де вершини десятикутника з'єднані з вершинами двох п'ятикутників, один п'ятикутник з'єднаний з непарними вершинами десятикутника, а інший п'ятикутник з'єднаний з парними вершинами. Геометрично це можна представити як 10-вершинний екваторіальний пояс додекаедра, з'єднаний з двома 5-вершинними полярними областями, по одній з кожної сторони.

Знаходження гамільтонового циклу для цього графа відомо як гра «Ікосіан», яку в 1859 році запропонував В. Гамільтон. Мета гри — пройти вершинами додекаедра, переходячи від вершини до сусідньої, відвідавши кожну вершину рівно один раз, і при цьому повернувшись у початок (тобто знайти гамільтонів цикл на ребрах додекаедра).

Деякі гамільтонові цикли графа:

Гамільтонів цикл графа додекаедра

{1 – 8 – 9 – 18 – 19 – 11 – 10 – 2 ‒ 3 ‒ 12 – 13 – 20 – 16 – 17 ‒ 7 ‒ 6 – 15 – 14 – 4 ‒ 5 ‒ 1} {1 – 8 – 9 – 18 – 19 – 20 – 16 – 17 ‒ 7 ‒ 6 – 15 – 14 – 13 – 12 ‒ 11 ‒ 10 – 2 – 3 – 4 ‒ 5 ‒ 1} {1 – 2 – 3 – 12 – 13 – 20 – 16 – 17 ‒ 18 ‒ 19 – 11 – 10 – 9 – 8 ‒ 7 ‒ 6 – 15 – 14 – 4 ‒ 5 ‒ 1} {1 – 2 – 10 – 11 – 19 – 18 – 9 – 8 ‒ 7 ‒ 17 – 16 – 20 – 13 – 12 ‒ 3 ‒ 4 – 14 – 15 – 6 ‒ 5 ‒ 1}

Граф правильного додекаедра не має ейлерових циклів.

Реберним графом для графа додекаедра є граф ікосододекаедра.

Ортогональні проєкції

Правильний додекаедр має дві ортогональні проєкції, центровані на вершинах і п'ятикутних гранях, що відповідають площинам Коксетера ^[15] A₂ та H₂ . Проєкція, центрована по ребру має дві ортогональні лінії відбиття.

Ортогональні проєкції

Центрована по	Вершині	Грані	Ребру
Зображення
Проєктивна симетрія	[[3]] = [6]	[[5]] = [10]	[2]

У перспективній проєкції, якщо дивитися на п'ятикутну грань, правильний додекаедр можна розглядати як діаграму Шлегеля з прямолінійними ребрами, а в стереографічній проекції — як сферичний многогранник. Ці проєкції також використовуються для зображення чотиривимірного 120-комірника, правильного 4-вимірного політопу, побудованого з 120 додекаедрів, при проєктуванні його в 3-вимірний простір.

Проєкція	Ортогональна проєкція	Перспективна проєкція
		Діаграма Шлегеля	Стереографічна проєкція
Правильний додекаедр
Додекаплекс (120-комірник)

Сферичний многогранник

Правильний додекаедр може бути представлений як сферичний многогранник.

Ортографічна проєкція	Стереографічна проєкція

Стільники

Правильними додекаедрами неможливо замостити тривимірний простір без проміжків та накладень.

Замостити тривимірний простір без проміжків та накладень можливо за допомогою правильних додекаедрів , кубів та подвійних серпоротонд у співвідношенні 1: 1: 3. ^{[16][17] [18]}

При цьому власне додекаедри формують реберну ґратку піритоедрів. Подвійні серпоротонди замощують «ромбічні» проміжки. Кожен куб межує з шістьма подвійними серпоротондами в трьох орієнтаціях. Бонні Стюарт позначив цю модель шести подвійних серпоротонд як 6J₉₁(P₄).^[19]

Модель стільника

Ґратка додекаедрів

12 серпоротонд навколо додекаедра Анімація заповнення простору

6 подвійних серпоротонд навколо куба

Найбільш щільне пакування додекаедрів (тобто таке, що має найменші пустоти між ними) має щільність ${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}\approx 0.904508497}$ . ^{[20]:Стор.25-26}

Зірчасті форми

Правильний додекаедр має три зірчасті форми ^[21]; всі три є правильними зірчастими многогранниками (тілами Кеплера-Пуансо)

	0	1	2	3
Зірчаста форма	Правильний додекаедр	Малий зірчастий додекаедр	Великий додекаедр	Великий зірчастий додекаедр
Діаграмаззірчення та грані на ній

Пов'язані та споріднені многогранники та мозаїки

Шляхом застосування геометричної операції зрізання вершин, правильний додекаедр перетворюється на двоїстий до нього правильний ікосаедр, утворюючи на певних стадіях зрізання такі многогранники:

Правильний додекаедр — Зрізаний додекаедр — Ікосододекаедр — Зрізаний ікосаедр — Правильний ікосаедр

Сімейство однорідних ікосаедричних багатогранників

Симетрія: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Двоїсті до однорідних багатогранників
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Ікосододекаедр утворюється при застосуванні до правильного додекаедра геометричної операції повне зрізання вершин^[en] (ректифікації).

Деякі многогранники Джонсона можна утворити шляхом нарощення граней правильного додекаедра п'ятикутними пірамідами^[en] (J₂):

• Нарощений додекаедр (J₅₈ ) — нарощено одну грань;

• Двічі протилежно нарощений додекаедр (J₅₉) — нарощено дві протилежні грані;

• Двічі косо нарощений додекаедр (J₆₀) — нарощено дві несуміжні, непротилежні грані;

• Тричі нарощений додекаедр (J₆₁) — нарощено три взаємно несуміжні грані.

При застосуванні щодо правильного додекаедра геометричної операції Зрізання носів^[en] (снубифікація), отримаємо напівправильний многогранник Архімеда — кирпатий додекаедр.

При застосуванні щодо правильного додекаедра геометричної операції Фаска^[en] (зрізання ребер), отримаємо многогранник Ґолдберга^[en] — додекаедр з фаскою^[en].

Кирпатий додекаедр	Додекаедр з фаскою[en]

n32 симетрії кирпатих мозаїк: 3.3.3.3.n

Симетрія n32	Сферична				Евклідова	Компактна гіперболічна		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Кирпаті фігури
Конфігурація	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Фігури
Конфігурація	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

*n32 варіанти симетрії правильних мозаїк: n³ або {n,3}

Сферичні				Евклідові	Компактні гіперболічні.		Параком- пактні.	Некомпактні гіперболічні.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Многогранники, що мають розташування вершин як у правильного додекаедра

Розташування вершин^[en] таке ж, як і в правильного додекаедра, мають чотири неопуклих однорідних многогранників та три однорідних з'єднання многогранників^[en].

В правильний додекаедр можливо вписати п'ять різних кубів; їхні ребра є діагоналями граней правильного додекаедра, і всі разом вони утворюють однорідну многогранну сполуку^[en] з п'яти кубів. Оскільки два різні тетраедри можуть розміститися на вершинах куба, що чергуються, то в правильний додекаедр також вписується з'єднання п'яти і десяти тетраедрів.

Великий зірчастий додекаедр	Малий дітригональний ікосододекаедр[en]	Дітригональний додекадодекаедр[en]	Великий дітригональний ікосододекаедр[en]
З'єднання п'яти кубів[en]	З'єднання п'яти тетраедрів	З'єднання десяти тетраедрів[en]		Ромбічний гексеконтаедр[en]

Прикладом неоднорідного многогранника, що має розташування вершин^[en] правильного додекаедра може слугувати ромбічний гексеконтаедр^[en] — зірчаста форма ромботриаконтаедра.

Тобто правильний додекаедр є опуклою оболонкою вершин цих неопуклих тіл.

Додатково

Будова правильного додекаедра у стереопроєкції.

Багатокутник Петрі[en] правильного додекаедра
Просторовими багатокутниками Петрі[en] правильного додекаедра є 6 просторових десятикутників.

Приклади в природі

Грані гольмієво-магнієво-цинкового (Ho-Mg-Zn) квазікристалу є правильними п'ятикутниками.

Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші — у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів.

• Кристал піриту ( FeS ) — природна модель додекаедра.

• Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

• У 1887 році Ернст Геккель описав радіолярію Circorrhegma dodecahedra, що має форму, наближену до додекаедра ^[22]

• У 1982 році було синтезовано хімічну сполуку C₂₀H₂₀ (додекаедран^[en]), форма якої також наближена до правильного додекаэдра.

Див. також

• Дванадцятигранник
• Ікосіан
• Напівдодекаедр
• Додекаедричне число
• Мегамінкс^[en]

Примітки

1. H. S. M. Coxeter, 1954.
2. Peter R. Cromwell, с. 451.
3. Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry. — Columbia University Press / New York: Dover, 1991. — P. 200. — ISBN 0-231-08323-8.
4. Edkins, Jo (2007). Dodecahedron. Solid shapes and their nets. Архів оригіналу за 26 грудня 2019. Процитовано 25 квітня 2024.
5. Klitzing, Richard. doe. bendwavy.org (англ.) .
6. Knott, Ron (26 вересня 2016). The Golden Geometry of Solids or Phi in 3 dimensions. Ron Knott's Mathematics Pages. Процитовано 19 березня 2022.
7. Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids, Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, с. 55, ISBN 9780802713865.
8. Kenneth J. MacLean, с. 15.
9. Dodecahedron inertia tensor - Wolfram Alpha. www.wolframalpha.com (англ.) .
10. Meskhishvili, Mamuka (2020). Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420.
11. dodecahedron vertex coordinates - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.). Процитовано 22 квітня 2024.
12. Weisstein, Eric W. Regular Dodecahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
13. Read, R. C.; Wilson, R. J. (1998). An Atlas of Graphs (англ.) . Oxford University Press.
14. Dodecahedral Graph. wolframalpha.com (англ.) .
15. Coxeter Planes [Архівовано 2018-02-10 у Wayback Machine.] and More Coxeter Planes [Архівовано 2017-08-21 у Wayback Machine.] John Stembridge
16. Dodecahedron and Bilunabirotunda – Wolfram Demonstrations Project.
17. http://www.lcv.ne.jp/~hhase/memo/m09_08b.html
18. Miracle Spacefilling. woodenpolyhedra.web.fc2.com.
19. B. M. Stewart (1980). Adventures Among the Toroids: A Study of Quasi-Convex, Aplanar, Tunneled Orientable Polyhedra of Positive Genus Having Regular Faces With Disjoint Interiors (англ.) . с. 127. ISBN 978-0686119364. 6J₉₁(P₄)
20. S. Torquato and Y. Jiao., с. 52.
21. Weisstein, Eric W. Dodecahedron Stellations. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 24 квітня 2024.
22. E.Haeckel. Die Radiolarien (Rhizopoda radiaria) : eine Monographie. — Berlin : G. Reimer, 1888. — Т. 4. — 400 (нім.) с. — DOI:https://doi.org/10.11588/diglit.27324. (позначена номером 2а)

Література

• H. S. M. Coxeter. Uniform polyhedra / M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, № 916. — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
• Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge, U.K. ; New York, NY, USA : Cambridge University Press, 1997. — 451 (англ.) с. — ISBN 9-521-55432-2.

• Kenneth J. MacLean. A Mathematical Analysis of the Dodecahedron from aGeometric Perspective. — 2019. — С. 15.

• S. Torquato and Y. Jiao. Dense Packings of Polyhedra: Platonic and Archimedean Solids. — Princeton University, Princeton New Jersey 08544, USA, 2009. — С. 52 (англ.). — DOI:10.1103/PhysRevE.80.041104.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Regular Dodecahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Dodecahedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
• McCooey, David.Dodecahedron
• Klitzing, Richard. "doe".
• Quickfur. "The Dodecahedron"
• Wedd, N. "The Dodecahedron"
• Hi.gher.Space Wiki Contributors. "Dodecahedron"
• Dwunastościan foremny - dodekaedr

• Paper Models of Polyhedra [Архівовано 26 лютого 2013 у Wayback Machine.]
  • Paper Dodecahedron