Діаграма Шлегеля

Діаграма Шлегеля — проєкція політопа з ${\displaystyle R^{d}}$ в ${\displaystyle R^{d-1}}$ через точку поруч із однією з його граней. Отримана фігура в ${\displaystyle R^{d-1}}$ комбінаторно еквівалентна початковому політопу. Діаграму названо за ім'ям Віктора Шлегеля^[ru], який 1886 року запропонував цей метод для вивчення комбінаторних та топологічних властивостей політопів. У розмірності 3 і 4 діаграми Шлегеля є проєкціями (3-вимірного) многогранника в плоску фігуру і проєкцією 4-вимірного многогранника в тривимірний простір відповідно. Як такі, діаграми Шлегеля часто використовують для візуалізації чотиривимірних многогранників.

Приклади, розфарбовані за кількістю ребер кожної грані: жовті трикутники, червоні квадрати та зелені п'ятикутники .

Тесеракт, спроєктований у 3-вимірний простір як діаграма Шлегеля. Видно 8 кубічних комірок — одна в центрі, по одній для шести граней центрального куба та одна зовнішня грань.

Побудова

Найпростіший опис діаграми Шлегеля для многогранника дав Данкан Соммервілл^[en][1]:

Дуже корисним метод подання опуклого многогранника є плоска проєкція. Якщо цю проєкцію зроблено із зовнішньої точки, оскільки кожен промінь перетинає многогранник двічі, він буде поданий багатокутною областю, розділеною двічі на многокутники. Завжди існує підхожий вибір центру проєкції, щоб проєкція однієї з граней містила проєкції всіх інших граней. Це називають діаграмою Шлегеля многогранника. Діаграма Шлегеля повністю подає морфологію многогранника. Іноді зручно зробити проєкцію многогранника із вершини. Вершина проєктується в нескінченність і не з'являється на діаграмі, ребра, що йдуть до неї подаються променями, що йдуть у нескінченність.

Соммервілл розглядав також випадок симплекса в чотиривимірному просторі^[2]: «Діаграма Шлегеля симплекса в S₄ є тетраедром, розділеним на чотири тетраедри». У загальнішому випадку, політоп у n-вимірному просторі має діаграму Шлегеля, побудовану за допомогою перспективної проєкції через точку поза політопом над центром грані. Всі вершини та ребра політопа проєктуються на гіперплощину цієї грані. Якщо політоп опуклий, існує точка біля грані, за якої ця грань стає зовнішньою, решта граней опиняються всередині неї, а ребра не перетинаються.

Приклади

Додекаедр	Стодвадцятикомірник
12 п'ятикутних граней на площині	120 додекаедрів (комірок) у 3-вимірному просторі

Різні види візуалізації ікосаедра

перспектива	розгортка	проєкція
Петрі[ru]	Шлегель	Вершинна фігура

Див. також

• Розгортка — інший підхід до візуалізації через многогранники менших розмірностей, за якого грані роз'єднуються і розгинаються, поки всі грані не опиняться в одній гіперплощині. Таке подання зберігає геометричні розміри та форму, але при цьому складніше розглянути топологічні зв'язки.

Примітки

1. Sommervill, 1929, с. 100.
2. Sommervill, 1929, с. 101.

Література

• Duncan Sommervill. Introduction to the Geometry of N Dimensions. — E. P. Dutton, 1929. Репринт 1958 видавництвом Dover Books.
• Victor Schlegel. Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde. — Druck von E. Blochmann & Sohn in Dresden, 1883. — Т. Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher XLIV. Архивная копия от 12 марта 2007 на Wayback Machine
• Victor Schlegel. Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper. — Waren, 1886.
• H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — Methuen and Co, 1948. — С. 242.
  • Regular Polytopes. — 3rd edition. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
• Branko Grünbaum. Convex polytopes / Volker Kaibel, Victor Klee, Günter M. Ziegler. — 2nd. — New York, London : Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-00424-6.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Діаграма Шлегеля(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Скелетон(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• George W. Hart: 4D Polytope Projection Models by 3D Printing [Архівовано 2 травня 2022 у Wayback Machine.]
• Nrich maths — для школярів та вчителів. [Архівовано 17 липня 2011 у Wayback Machine.]