Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Великий додекаедр

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Великий додекаедр
Remove ads
Remove ads

Великий додекаедр [5] :стор.18 ;[2] [6]:стор.443-444 — один з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера — Пуансо.

Більше інформації , з довжиною сторони ...

Цей багатогранник було відкрито у 1809 році Луї Пуансо[7] ; [8] :стор.149, а назву йому дав Артур Кейлі в 1859 році. [2] :стор.410

Він складається з 12 граней правильних п'ятикутників (шість пар п'ятикутних граней лежать в паралельних площинах), по 5 п'ятикутників у кожній вершині, що перетинаються між собою. Має 12 вершин, кожна з яких є вершиною зірчастого п'ятигранного кута.

Його символ Шлефлі . [2] :стор.410

Має центральну ділянку кожної грані у вигляді п'ятипроменевої зірки (пентаграми), «приховану» всередині багатогранника, при цьому зовні видно тільки ділянки граней у вигляді рівнобедрених трикутників. Частина граней, що знаходиться всередині багатогранника відіграє роль плоскої мембрани та не розмежовує внутрішній простір багатогранника.

Розташування вершин[en] (опукла оболонка) великого додекаедра, а також розташування його ребер таке ж як і у правильного ікосаедра.

Великий додекаедр має повну симетрію правильного ікосаедра, і отже, всі його елементи симетрії, а саме:

1) має 31 вісь обертової симетрії:

‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні вершини;

‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через протилежні точки, в яких перетинаються три грані («вістря тригранних виїмок»);

‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер.

2) має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.

3) має центр симетрії.

Remove ads

Як зірчаста форма додекаедра

Thumb Thumb Thumb
Діаграма ззірчення правильного додекаедра та грань великого додекаедра на ній Жовтим кольором зображено грань великого додекаедра (частина грані прихована всередині багатогранника) Утворення грані великого додекаедра

Великий додекаедр є другою зірчастою формою правильного додекаедра. Його грані складені з нульового, першого та другого відсіків на діаграмі ззірчення правильного додекаедра. [5] :стор.19

Великий додекаедр утворюється з правильного додекаедра при продовженні (розширенні) його граней (кожна грань правильного додекаедра розширюється до її взаємного перетину з п'ятьма не суміжними до неї гранями), тобто кожна грань α правильного додекаедра замінюється правильним п'ятикутником, описаним навколо п'ятикутної зірки з ядром α.[6]:стор.443

Також великий додекаедр є радіально-опуклим зірчастим багатогранником, тобто кожен промінь, що виходить з його центра, перетинає багатогранник лише в одній точці.[9] ; [8] :стор.98

Remove ads

Зв'язок з правильним ікосаедром

Узагальнити
Перспектива
Thumb

Великий додекаедр має таке саме розташування ребер та розташування вершин[en] , як і опуклий правильний ікосаедр, тобто опукла оболонка великого додекаедра є правильним ікосаедром.

Поєднання правильного ікосаедра та великого додекаедра утворює вироджений зірчастий багатогранник малий складений ікосододекаедр[en].Він має подвоєні (продубльовані) ребра, що і робить його виродженим.

Багатогранник, візуально схожий на великий додекаедр, з довжиною ребра можна отримати з правильного ікосаедра з довжиною ребра , наростивши на його гранях (але не назовні, а всередину тіла), правильні трикутні піраміди, висотою .[10] Фактично відбувається не нарощення пірамід, а видалення їх з тіла ікосаедра. Але отриманий таким чином багатогранник схожий на великий додекаедр тільки візуально, але насправді ним не є, оскільки має додаткові вершини та ребра, що належать цим пірамідам.

Отриманий таким чином багатогранник (з увігнутими пірамідами) топологічно ідентичний до триакіс ікосаедра.

Remove ads

Формули

Узагальнити
Перспектива

У всіх формулах нижче:  — відношення пропорції «золотого перетину». (послідовність A001622 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Більше інформації Для великого додекаедра з довжиною ребра ...

Центр мас великого додекаедра знаходиться в його геометричному центрі.

Момент інерції суцільного великого додекаедра з масою m та довжиною ребра a (вісь обертання проходить через протилежні вершини):[11]

Remove ads

Координати вершин

Узагальнити
Перспектива

Як було зазначено вище, великий додекаедр має таке ж розташування вершин, як і правильний ікосаедр, а отже, вершини великого додекаедра з довжиною ребра та правильного ікосаедра в декартовій системі координат збігаються та мають наступні координати:

При цьому вершини (окрім двох діаметрально протилежних вершин на осі Oz) лежать в двох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного п'ятикутника.

Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.

Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 5-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.

Площина Oxz є однією з площин симетрії багатогранника.

Також, великий додекаедр з довжиною ребра в декартовій системі координат має вершини з наступними координатами:

При цьому вершини лежать в чотирьох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного трикутника.

Початок координат збігається з центром багатогранника. Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 3-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку. Площина Oxz є однією з площин симетрії багатогранника.

Remove ads

Пов'язані багатогранники

Узагальнити
Перспектива
Thumb
Анімація послідовності зрізання малого зірчастого додекаедра від { 52, 5} до {5, 52}

Існує чотири неопуклих однорідних багатогранники, що утворені певними ступенями операції зрізання великого додекаедра.

Зрізаний великий додекаедр[en] є однорідним неопуклим багатогранником U37, що має діаграму Коксетера — Динкіна та символ Шлефлі t{5,5/2}. Має 24 граней (12 п'ятипроменевих зірок (пентаграм) та 12 правильних десятикутників), 90 ребер та 60 вершин.[12]

Додекадодекадр[en] утворюється при повному зрізанні[en] (ректифікації) великого додекаедра, коли зрізання вершин проводиться до точок, що лежать на серединах ребер багатогранника, тобто ребра початкового багатогранника фактично зникають.Він є однорідним неопуклим багатогранником U36. Має 24 граней (12 п'ятипроменевих зірок (пентаграм) та 12 правильних п'ятикутників), 60 ребер та 30 вершин.

Процес подальшого зрізання призводить до появи зрізаного малого зірчастого додекаедра, що є виродженим однорідним багатогранником. Візуально він виглядає як правильний додекаедр, але має 24 подвійно-накриті грані.

Процес зрізання великого додекаедра завершується (при повному глибокому зрізанні або біректифікації) утворенням двоїстого до нього багатогранника — малого зірчастого додекаедра, коли грані початкового багатогранника зменшуються до точок, тобто фактично зникають.

Більше інформації Назва, Великий додекаедр ...

Родина зірчастих форм правильного додекаедра.

Більше інформації Зірчасті форми правильного додекаедра, Тіло Платона ...
Thumb
Великий додекаедр з піритоедричною симетрією

Два однорідних з'єднання багатогранників складаються з великих додекаедрів:

Більше інформації З'єднання двох великих додекаедрів, З'єднання п'яти великих додекаедрів ...
Remove ads

Додатково

Більше інформації Обертання багатогранника, Сферична проєкція ...
Більше інформації Багатокутник Петрі[en] великого додекаедра ...
Remove ads

Див. також

Примітки

Loading content...

Література

Посилання

Loading content...
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads