Центральна симетрія

Центральною симетрією відносно точки ${\displaystyle A}$ називають перетворення простору, яке переводить точку X у таку точку X′, що ${\displaystyle A}$ — середина відрізка XX′. Центральну симетрію з центром у точці A зазвичай позначають через ${\displaystyle Z_{A}}$. Фігуру називають симетричною відносно точки A, якщо для кожної точки фігури точка, симетрична їй відносно точки A, також належить цій фігурі. Точку A називають центром симетрії фігури. Кажуть також, що фігура має центральну симетрію.

Інша назва цього перетворення — симетрія з центром A. Центральна симетрія в планіметрії є окремим випадком повороту, точніше, є поворотом на 180 градусів.

Векторний запис

Нехай G — оператор центральної симетрії, точку A задано радіус-вектором ${\displaystyle {\vec {r_{A}}}}$, а перетворювана точка задається радіус-вектором ${\displaystyle {\vec {x}}}$. Тоді виконується така формула:

${\displaystyle G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}}$

Пов'язані визначення

• Якщо фігура переходить у себе при симетрії відносно точки ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle A}$ називають центром симетрії цієї фігури, а саму фігуру називають центрально-симетричною.

Властивості

Композиція двох центральних симетрій

• Центральна симетрія є рухом (ізометрією).
• В n-вимірному просторі, якщо перетворення R є послідовним відбиттям відносно n взаємно перпендикулярних гіперплощин, то R — центральна симетрія відносно спільної точки цих гіперплощин. Як наслідок:
  • У парновимірних просторах центральна симетрія зберігає орієнтацію, а в непарновимірних — не зберігає.
• Центральну симетрію можна подати також як гомотетію з центром A і коефіцієнтом -1 (${\displaystyle H_{A}^{-1}}$).
• Композиція двох центральних симетрій — паралельне перенесення на подвоєний вектор з першого центра в другій:

  ${\displaystyle Z_{A}\circ Z_{B}=T_{2{\vec {AB}}}}$

• В одновимірному просторі (на прямій) центральна симетрія є дзеркальною симетрією.
• На площині (в 2-вимірному просторі) симетрія з центром A є поворотом на 180° із центром A (${\displaystyle R_{A}^{180}}$). Центральна симетрія на площині, як і поворот, зберігає орієнтацію.
• Центральну симетрію в тривимірному просторі можна подати як композицію відбиття відносно площини, що проходить через центр симетрії, з поворотом на 180° відносно прямої, що проходить через центр симетрії і перпендикулярна до згаданої площини відбиття.
• У 4-вимірному просторі центральну симетрію можна подати як композицію двох поворотів на 180° відносно двох взаємно перпендикулярних площин (перпендикулярних у 4-вимірному сенсі, див. Перпендикулярність площин у 4-вимірному просторі), що проходять через центр симетрії.

У кристалофізиці

Центр симетрії в кристалофізиці позначається ${\displaystyle {\bar {1}}}$.

Кристали з центрами інверсії характерні тим, що в них неможливе існування полярних прямих, тобто прямих із виділеним напрямком. Для цих кристалів усі тензори непарних рангів дорівнюють нулю. Наприклад, у кристалах з центром інверсії неможливе існування спонтанного дипольного моменту, тобто вони не можуть бути сегнетоелектриками.

Див. також

• Осьова симетрія
• Відбиття
• Радіальна симетрія

Література

• Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)
• Селиванов Д. Ф. Центр, в геометрии // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)

Посилання

• Симетрія центральна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.