Група Коксетера

Група Коксетера — група, породжена відображеннями в гранях ${\displaystyle n}$-вимірного многогранника, в якого кожен двогранний кут становить цілу частину від ${\displaystyle \pi }$ (тобто дорівнює ${\displaystyle \pi /k}$ для деякого цілого ${\displaystyle k}$). Такі многогранники називаються многогранниками Коксетера. Групи Коксетера визначаються для багатогранників у евклідовому просторі, на сфері, а також у гіперболічному просторі.

Приклади

• Скінченним групам Коксетера ізоморфні, зокрема, групи Вейля простих алгебр Лі.
• Многогранники Коксетера в евклідовому просторі розмірності ${\displaystyle n}$:
  • ${\displaystyle n}$-вимірний куб довільної розмірності.
  • ${\displaystyle n}$-вимірний симплекс, утворений точками з координатами ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ такими, що ${\displaystyle 0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1}$.
• Многогранники Коксетера в одиничній сфері розмірності ${\displaystyle n}$:
  • правильний ${\displaystyle n}$-вимірний симплекс зі стороною ${\displaystyle \pi /2}$.
• Многогранники Коксетера у гіперболічних просторах:
  • Правильний ${\displaystyle k}$- многокутник із кутом ${\displaystyle \pi /m}$.
  • Правильний прямокутний додекаедр у розмірності ${\displaystyle 3}$.
  • Правильний прямокутний стодвадцятикомірник у розмірності ${\displaystyle 4}$.

Властивості

• Групи Коксетера описуються і класифікуються за допомогою діаграм Коксетера — Динкіна.
• Многогранник Коксетера є фундаментальною областю дії групи Коксетера.
  • Зокрема, многогранник Коксетера замощує простір.
  • Зокрема, будь-яка евклідова група Коксетера є прикладом точкової групи.
• Теорема Вінберга^[1]. У гіперболічних просторах всіх досить великих розмірностей обмежених многогранників Коксетера не існує.
• Сферичні многогранники Коксетера є симплексами.
• Многогранники Коксетера є простими.
• Позначимо через ${\displaystyle \{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}}$ відображення в гранях многогранника, і нехай ${\displaystyle \pi /m_{ij}}$ є двогранний кут між гранями ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$. Нехай ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$, якщо грані не утворюють двогранного кута у многограннику, і ${\displaystyle m_{ii}=1}$. Тоді групу Коксетера можна задати так:

  ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

Варіації та узагальнення

• Групами Коксетера також називають узагальнення класу груп, описаного вище, що визначається за допомогою задання:

  ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$,

де ${\displaystyle m_{ii}=1}$ і ${\displaystyle m_{ij}\geqslant 2}$ при ${\displaystyle i\neq j}$.

Див. також

• Група комплексних відображень
• Число Коксетера

Примітки

1. Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений [Архівовано 23 травня 2013 у Wayback Machine.] УМН, 40:1(241) (1985), 29–66

Література

• H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35 (15 January). — P. 588—621. — DOI:10.2307/1968753. JSTOR 1968753